电子科技大学：《计算电磁学 Computational Electronmagentics》课程教学资源（课件讲稿，矩量法）第8章 矩量法基本原理 8.1 矩量法原理

计算电罐学实验室Computational Electromagnetics Laboratory 966 计算电磁学 园书 电子科技大学邵维 2020年4月 1

1 计算电磁学 电子科技大学 邵维 2020年4月 计算电磁学实验室 Computational Electromagnetics Laboratory

计算电磁学 (小班研讨课) 966 目录 课程基础 第8章矩量法基本原理 2

2 计算电磁学（小班研讨课） 目 录 课程基础 第8章 矩量法基本原理

课程基础 966 ▣ 计算机硬件决定了计算电磁学的发展，计算电磁学推动了电磁场工程的发展 一个简单的例子：解析法一近似法 —数值法 同轴线 含金属通孔 微带线 的微带线 Q1:同轴线中的电场分别可由电位函数导出，位函数满足什么方程？如何求解？ Q2:微带线中传播的主模是什么？主模有什么特点？是否能用严格解析法求解？ 4

4 课程基础  计算机硬件决定了计算电磁学的发展，计算电磁学推动了电磁场工程的发展  一个简单的例子：解析法 —— 近似法 ——数值法 Q1：同轴线中的电场分别可由电位函数导出，位函数满足什么方程？如何求解？ Q2：微带线中传播的主模是什么？主模有什么特点？是否能用严格解析法求解？ r  微带线 r  含金属通孔 的微带线 同轴线

课程基础 966 ▣ 数值方法分类 时域 FDTD、FETD Q1:FDTD的优点有哪些？ 基于微分方程 Q2:学习FDFD后，你认为它在 频域 FDFD、FEM 数值计算中应用很少的原因 时域 是什么？ IETD 基于积分方程 频域 MoM、FMM ▣数值方法和高频近似方法 高频近似方法 数值方法 0.1 10入 100元 10002 物体电尺寸 Q3:数值方法和高频近似方法在实施过程中的显著区分是什么？ 5

5 课程基础  数值方法分类 基于积分方程 基于微分方程 时域 —— IETD 频域 —— MoM、FMM 时域 —— FDTD、FETD 频域 —— FDFD、FEM 0.1  10 100 1000 物体电尺寸 数值方法 高频近似方法  数值方法和高频近似方法 Q3：数值方法和高频近似方法在实施过程中的显著区分是什么？ Q1：FDTD的优点有哪些？ Q2：学习FDFD后，你认为它在 数值计算中应用很少的原因 是什么？

课程基础 956 矩量法 (method of moments,MoM) 名称的由来 >数学中，∫xf(x)dr称为函数的n阶矩 矩量法中，用权函数替代x” >电磁学中，即求解积分方程的方法 口MoM和FDTD求解单极天线的不同 ABC 求解E、H 求解1 FDTD MoM 激励 激励 6

6 课程基础  矩量法（method of moments, MoM）名称的由来: ➢ 数学中， 称为函数的n阶矩 矩量法中，用权函数替代 x n ➢ 电磁学中，即求解积分方程的方法 ( )d n x f x x   MoM和FDTD求解单极天线的不同 FDTD 激励 求解E、H MoM 激励 求解 I ABC I

课程基础 966 FDTD、MoM和FEM的比较 FDTD FEM MoM 任意两个未知数 1.通过一系列中间变量间接表述 L.通过格林函数直接表述 的相互作用 2.存在色散误差 2.不存在色散误差 方程性态 差 好 截断边界 需要施加ABC 无需施加ABC 实施难度 易 居中 难 通用性 强 强+ 弱 精度 低 居中 高 Q1:FDTD法中的任意两个未知变量是如何间接表述的？ Q2:影响FDTD精度的因素有哪些？ MoM:主要用于求解天线辐射和目标散射问题 > 1963年，K.K.Mei(梅冠香)，博士论文 >1 968年，R.F.Harrington,专著 7

7 课程基础 FDTD FEM MoM 任意两个未知数 的相互作用 1. 通过一系列中间变量间接表述 2. 存在色散误差 1. 通过格林函数直接表述 2. 不存在色散误差 方程性态 差 好 截断边界 需要施加ABC 无需施加ABC 实施难度 易 居中 难 通用性 强 强+ 弱 精度 低 居中 高  FDTD、MoM和FEM的比较 Q1：FDTD法中的任意两个未知变量是如何间接表述的？ Q2：影响FDTD精度的因素有哪些？  MoM：主要用于求解天线辐射和目标散射问题 ➢ 1963年，K. K. Mei（梅冠香），博士论文 ➢ 1968年，R. F. Harrington，专著

8.1矩量法原理 966 8.1.1矩量法基本概念 >非齐次方程 L(0=8 (1) 其中，L是线性算子，g为已知函数，f为未知函数。电磁场问题中，L是 积分或微分算子，g是激励源或入射场，f是待求的电荷或电流。 Q1:什么是线性算子？ Q2:单从方程的形式看，求解方程(1)的困难是什么？ >令f展开为N个基函数的组合 f≈∑anf 3) 其中，4是系数，f为基函数。(2)代入(1)中，再利用算子的线性，得

9 8.1 矩量法原理 8.1.1 矩量法基本概念 ➢ 非齐次方程 L(f) = g (1) 其中，L是线性算子，g为已知函数，f 为未知函数。电磁场问题中，L是 积分或微分算子，g是激励源或入射场，f 是待求的电荷或电流。 Q1：什么是线性算子？ Q2：单从方程的形式看，求解方程(1)的困难是什么？ ➢ 令 f 展开为N个基函数的组合 (2) 其中，an 是系数，fn为基函数。(2)代入(1)中，再利用算子的线性，得 1 N n n n f a f =  

8.1矩量法原理 1966 之aL9一e,提福集：内存有限，w为有明 这里，余量 R=g-2a,L(/) 为保证最小，应令余量加权求积后取零值，即取一权函数（检验函数、试 探函数)的集合{w},令 a8-2a1=0m=12N (3) 其中，内积的定义 (fn,fn〉=.f.fd 10

10 这里，余量 为保证R最小，应令余量加权求积后取零值，即取一权函数（检验函数、试 探函数）的集合{w}，令 (3) 其中，内积的定义 ( ) 1 N n n n a L f g =  N→∞，{ f }是一完备集；内存有限，N为有限值 ( ) 1 N n n n R g a L f = = − ( ) 1 , 0, 1,2,..., N m n n n  g a L f m N = − = =  , d m n m n V f f f f V =  8.1 矩量法原理

8.1矩量法原理 1966 (3)由n个方程组成的方程组； (3)表示因不能精确满足场方程而导致的误差在平均意义下等于零； (3)意味着余量R为wn取矩的一组平衡式；数学上，∫x”f(x)dx称为函数f 的阶矩，这里用代替x”,故称为矩量法。 由(3)得 立aaL》=o,8 产生的矩阵为N×N,即Za=b,其中 Znm=(om,L(fn)》 每一个基函数通过格林函数和其他所有 基函数发生作用，产生的矩阵为满阵 bm=(0n,g〉 11

11 ➢ (3)由n个方程组成的方程组； ➢ (3)表示因不能精确满足场方程而导致的误差在平均意义下等于零； ➢ (3)意味着余量 R 为 wm取矩的一组平衡式；数学上， 称为函数 f 的n阶矩，这里用代替x n ，故称为矩量法。 ( )d n x f x x  由（3）得 产生的矩阵为N×N，即 Za = b，其中 , ( ) Z L f mn m n =  , m m b g =  ( ) 1 , , N n m n m n a L f g   =  = 每一个基函数通过格林函数和其他所有 基函数发生作用，产生的矩阵为满阵 8.1 矩量法原理

8.1矩量法原理 966 8.1.2矩量法中的权函数 一点匹配 如果边界条件是通过物体上一系列离散点而施加上的，等效于 onm(r=δ(r 优点：实施易 一不需计算作用在权函数上的积分。 Q:为什么？ A:[f(x)6(x-xo)dx=f(xo) 缺点：精度差一边界条件只在离散点处匹配，解域内其他点存在误差。 12

12 8.1.2 矩量法中的权函数 一 点匹配 如果边界条件是通过物体上一系列离散点而施加上的，等效于 优点：实施易——不需计算作用在权函数上的积分。 Q：为什么？ 缺点：精度差——边界条件只在离散点处匹配，解域内其他点存在误差。   m (r r ) = ( ) 0 0 f x x x x f x ( ) ( )d ( )   − − = A：  8.1 矩量法原理