电子科技大学：《计算电磁学 Computational Electronmagentics》课程教学资源（课件讲稿，有限差分法）第2章 有限差分法 2.1 差分运算的基本概念 2.2 边值问题（静态场）的差分计算

计算电磁学（小班研讨课) 966 第2章有限差分法 目录 2.1差分运算的基本概念 2.2边值问题（静态场)的差分计算 2

2 计算电磁学（小班研讨课） 目 录 第2章 有限差分法 2.1 差分运算的基本概念 2.2 边值问题（静态场）的差分计算

计算电磁学 956 第2章有限差分法

3 第2章 有限差分法 计算电磁学

2.1差分运算的基本概念 一阶导数（高等数学—微积分） f)= 可 △f(习 dx 缸0 △x ▣ 差分 业≈△f田_fx+-f西 前向差分 dx △x h > 后向差分 女△f田-f因-fc-为 dc△x h 中心差分 並≈△f因=fx+)-fx-) dx △x 2h 那一种精度高？ 4

4 2.1 差分运算的基本概念  一阶导数（高等数学——微积分）  差分  前向差分  后向差分  中心差分  那一种精度高？

2.1差分运算的基本概念 966 精度（对一阶导数的逼近程度) >泰勒公式 f+)=f0th田+f0四+. dx 2! f-为=f-h四+f型+ dx 2! > 前向差分、后向差分都略去了？项以及更高幂次的项 > 中心差分略去了项以及更高幂次的项，精度更高 f化+为-f0x-=2h四+2df0四+ dx 3!dx3 5

5 2.1 差分运算的基本概念  精度（对一阶导数的逼近程度）  泰勒公式  前向差分、后向差分都略去了 项以及更高幂次的项  中心差分略去了 项以及更高幂次的项，精度更高

2.1差分运算的基本概念 二阶导数 f(x+)-f(x)_f对-fx-h) h h f(x+h)-2f(x9+f(x-为 2 >泰勒公式略去了项以及更高幂次的项 f+为+f-月=20网+f四+2d四+ d24”dc 6

6 2.1 差分运算的基本概念  二阶导数   泰勒公式略去了 项以及更高幂次的项

2.1差分运算的基本概念 广义差分 0.固定 d=(h兄) =h+0h2 (k)= 1-e2h d可fx+h为-f)_fx+为-f() 2 dx φ(h,2) 1-e-ih 2 可f(x+h,)-f) →0.2固定 (h,2) =h+00 dx 鸡仇2) >广义差分格式给予离散化更多的选择方案、更大的自由度 偏导数也可用上述方法表示 >微分→差分；导数→差商：微分方程差分方程 7

7 2.1 差分运算的基本概念  广义差分    广义差分格式给予离散化更多的选择方案、更大的自由度  偏导数也可用上述方法表示  微分差分; 导数差商; 微分方程差分方程

2.1差分运算的基本概念 966 有限差分法 以差分原理为基础的数值方法，将连续域的电磁场问题转换为离散域的问题来求解， 通过网格状离散化模型上各个离散点的数值解来逼近连续域的场真实解。 主要步骤 采用一定的网格划分方式离散化场域 应用差分原理，对场域内的偏微分方程及边界条件进行差分离散化处理，得到差分 计算格式（差分方程组） 选择怡当的代数方程组解法，求解差分方程组，得到数值解 8

8 2.1 差分运算的基本概念  有限差分法  以差分原理为基础的数值方法，将连续域的电磁场问题转换为离散域的问题来求解， 通过网格状离散化模型上各个离散点的数值解来逼近连续域的场真实解。  主要步骤  采用一定的网格划分方式离散化场域  应用差分原理，对场域内的偏微分方程及边界条件进行差分离散化处理，得到差分 计算格式（差分方程组）  选择恰当的代数方程组解法，求解差分方程组，得到数值解

2.2边值问题（静态场）的差分计算 ▣二维泊松方程差分格式的建立 -L,+1) ,+)2 (+1,/+1) D m 2p at2 =f(x 3 0h1 1,D D +1,D 1,1) ,1) +1,1) 0 >考虑不等步长的一般情况：设场域内部某节点0附近的5个节点0、1、2、3、4， 马%，马，马，丹P4分别代表在对应节点处9的函数值 9

9 2.2 边值问题（静态场）的差分计算  二维泊松方程差分格式的建立   考虑不等步长的一般情况：设场域内部某节点0附近的5个节点0、1、2、3、4， 分别代表在对应节点处 的函数值

2.2边值问题（静态场)的差分计算 从泰勒公式出发寻求较精确的差分格式 基于4和马在0点的泰勒展开式，分别乘以待定常数，B,合成出 a以a-a+a-a-(-+8++ 为获取一阶偏导的差分格式，令 顺系为0，得a=装A (9-%)-好（%-%) hhs (m+hs) 在等步长时，4=h=九，有，网 2h, 10

10 2.2 边值问题（静态场）的差分计算  从泰勒公式出发寻求较精确的差分格式 基于 和 在O点的泰勒展开式，分别乘以待定常数 ，合成出  为获取一阶偏导的差分格式，令 项系数为０，得 在等步长时， ， 有

2.2边值问题（ 静态场)的差分计算 966 为获取二阶偏导的差分格式，令[黑 项系数为0，得a= h 82o 心24(9-%)+4（吗-%） hhs(h+h) 在等步长时，6==九，有， =4-24+吗 hoh,(h2 +h) 时防==，有， 9-2%+94 好 11

11 2.2 边值问题（静态场）的差分计算  为获取二阶偏导的差分格式，令 项系数为０，得 在等步长时， ， 有，  在等步长时， ， 有