厦门大学：《群论及其在化学中的应用》课程教学资源（课件讲稿）Chapter 3 群的类分解 Chapter 4 商群与同态（Factor group & Homomorphism）Chapter 5 群的直积（Direct Product）Chapter 6 置换群（Permutation group/Symmetric group）

Chapter3群的类分解 1.共轭类 共轭：设f、h是群G的两个元素，若有元素g∈G,使得 8=h,则称元素h与f共轭。记为h~f 共轭具有传递性： 若~h,f方~h,则f~f2 证明： f-g.hg f=g2hg2 f=81(g2f382)81-(882f5(g82) 类：群G中所有互为共轭的元素集合组成一个类。 记：K(A)={8,g'}g,跑遍所有的群元素

Chapter 3 群的类分解 -1 gfg = , h h f  1 2 f f  1 -1 -1 1 1 2 22 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 2 22 1 12 2 12 = = = ( ) =( ) ( ) f g hg f g hg f g g fg g gg f gg 1. 共轭类 共轭：设f、h是群 G 的两个元素，若有元素 使得 则称元素 h 与 f 共轭。记为 共轭具有传递性： 若 则 证明： 类：群 G 中所有互为共轭的元素集合组成一个类。 记： gi 跑遍所有的群元素。 -1 ( ) { } K A i i  g ag g G , 1 2 f   h, , f h

共轭变换的几何意义 C行= o,Co,(o,)=0,F O,Cσ，1=C-4 正转(C)等于倒转(C$)(存在O,) 两类元素不可能有共同的元素或完全一样 设 K(A)={8,ag,} bK(A),K(B)=(g bgi if gag;-g bg b=8,8,g,g,-(g,g,)a(g,g)'=84agk∈K(A) 与b庄K(A)矛盾

共轭变换的几何意义 正转（ ）等于倒转（ ）（存在 ） 两类元素不可能有共同的元素或完全一样 设 与 矛盾。 Cr r      1( ) v vv v C rr          1 v v C C       C C  v -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ( ) { } ( ), ( )={ } = = =( ) ( ) = ( ) i i j j ii j j jii j ji ji kk K A g ag b K A K B g bg if g ag g bg b g g ag g g g a g g g ag K A     b KA  ( )

据此，可将群进行类分解： G={80,81,,8m-1} K(E)=(8,e g)=e Ko(E) K(A) K (4) bEK(A)→K(B)={8,bg,} K,(B) G=UK, 例子：C3m E.C.C.a.o..o." 类：{E} {C,C} {o,o,”,o,} 交换群群元素自成一类 8,ag,=88,a=a8∈G

0 1 -1 -1 0 1 -1 2 { , , ..., } ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) n i i i i i G gg g K E geg e K E K A KA b K A K B gbg K B G K            2 3 33 , , , , , C EC C v vv v            2 3 3 , , , E CC   vv v    -1 -1 = = i i ii i g ag g g a a g G 据此，可将群进行类分解： 例子： 类： 交换群群元素自成一类

2.共轭类的几何意义（对称群Symmetry Group) ①旋转 C。 Symmetric Group:Sn 假设包含一个对称面可， CF=F 0C0,(o)=0,'=C0,f O,下经过共轭变换后变成σ” 一倒转 即C与CW 属于同一类 Ca:E C:Ci,"o

2. 共轭类的几何意义（对称群 Symmetry Group ） ① 旋转 假设包含一个对称面 C  v Cr r      1( ) vvv v v C r rC r              v  r  经过共轭变换后变成 v  r  即 与 属于同一类 k Cn n k Cn  2 3 33 : C ECC v vv v         Symmetric Group: Sn  v 倒转

如存在一个垂直C。的面O oCo6=C。 o[xy,]=[x,y,-] C6[x,y,]=[x,y,z] a,C.[x.y.=]=[x.y,-=] Co[xy,]=[x,y,-] →C606=0C6 ②对称面 i>OCn=COn 0h自成一类

C  h             1 = ,, ,, ,, , , ,, , , ,, , , h h h h h h h C C xyz xy z C xyz x y z C xyz x y z C xyz x y z C C                                hn nh C C  如存在一个垂直 的面 ② 对称面 ⅰ>  h 自成一类

iⅱ>o,设A为参考面与o,重合 leaves every point x o,A=A of A unchanged Ao. (Co,C)CA=CA C,o,C与C,A亦重合。也就是说由C。操作获得的{o,}属于一类。 Cav:E.Ch C:C: 69 5类

 vA A  1 ( ) C C CA CA     v   1 C C  v  与 亦重合。也就是说由 操作获得的 属于一类。 C A C  v 13 2 4 44 4 13 24 : E; C C ; C ; ; C v    ⅱ>  v 设 A 为参考面与 重合  v leaves every point x of A unchanged C4v 5类

③对称中心i ix,y,z]=[-x,-y,-] Cx,y,z]=[-x',-y',-2] iC[x,y,]=ix',y',z]=[-x,-y,-z] iC。=Ci自成一类 类元素的个数一定是有限群阶的因子 ④0h 0h[x,y,2]=[x,y,-z] ⑤C,(无o,时) Co[x,y,2]=[x,y,-z] 自成一类 oC[x,y,2]=[x,y,-z] Coh=0C

ixyz x y z [, ,] [ , , ]    Cix yz x y z [, ,] [ , , ]      iC x y z i x y z x y z [, ,] [ , ,] [ , , ]         iC C i    自成一类 类元素的个数一定是有限群阶的因子 ④  h [, ,] [, , ] h  x yz xy z   [, ,] [ , , ] C xyz x y z   h     [, ,] [ , , ] hC x y z x y z       C C   h h    ③ 对称中心 i （无 时）  v 自成一类 ⑤ Cn

3.共轭子群一一Conjugate Subgroup 如果子群HcG,g,∈G,8,年H 侧8，Hg,也构成一个子群一一共轭子群 证明：h,∈H,g∈G (8h8(g,h8)=8,h,h8,=8h,8∈Ke(H) K.(H)={g,hg,h∈H,g,∈G} 不变子群：Invariant subgroup【自共轭子群】 对所有a∈G可能有：aHa1=H 由不变子群的定义有：8，H=Hg

, , H   G g Gg H i i 1 i i g Hg  , k i h H   g G 11 1 1 ( )( ) ( ) i ik i il i ikl i it i g gh g ghg ghhg ghg K H      1 (){ , } i K H ghg h H g G g ik i k i    | a G 1 aHa H   i i g H H g 3．共轭子群――Conjugate Subgroup 如果子群 则 也构成一个子群――共轭子群 证明： 不变子群：Invariant subgroup 【自共轭子群】 对所有 可能有： 由不变子群的定义有：

即：不变子群的左陪集与右陪集相等。容易证明，如果子 群H包括了元素h在群G中的所有同类元素，则H为不变子 群。 例子：C3:EC3Co1o2O e a a'b baba? H={e,a,a2} ba a'b bH eb,ba,ba=Hb ba2 ab G,按H分解 G=H⊕bH=HUbH

2 3 33 1 2 3 2 2 : C E CC v e a a b ba ba    2 2 {, , } {, , } H eaa bH eb ba ba Hb    G H bH H bH = =   即：不变子群的左陪集与右陪集相等。容易证明，如果子 群H包括了元素h在群G中的所有同类元素，则H为不变子 群。 例子： G6 按 H 分解 2 2 ba a b ba ab  

Chapter4商群与同态(Factor group&Homomorphism) 设H是群G的不变子群，G按H分解有： H→Co gH C G= 82H C2 h={C.C…,Cn 8m-1H Cm-i 由不变子群H的左（右）陪集形成一个群，叫商群。 Factor group/.quotient group记为G/H H.H=H 8,H·g,H=ggH·H=gkH∈G/H 8,H·gH=g,gHH=H G=n H=GG/H~e

Chapter 4 商群与同态 (Factor group & Homomorphism) 设 H 是群 G 的不变子群，G 按 H 分解有： G nH GGH e  /   0 1 1 2 2 01 1 -1 -1 { , , , } m m m H C gH C G gH C C C C G H gHC          由不变子群 H 的左（右）陪集形成一个群，叫商群。 Factor group/quotient group 记为 G/H 1 1 H g H=g g H H=g H G/H H g H= g H H=H i j ij k i j ij HH H g g g        