上海交通大学：《自动控制理论（经典控制部分）》课程教学资源（课件讲稿）06-2 频域分析的稳定性判据

频域分析的稳定性判据 奈氏稳定性判据 及其应用

频域分析的稳定性判据 奈氏稳定性判据 及其应用

Nyquist稳定性判据 基本思想：利用开环频率特性来判别 闭环系统的稳定性。 幅角定理

Nyquist 稳定性判据 基本思想：利用开环频率特性来判别 闭环系统的稳定性。 幅角定理

奈氏判据： 需要考虑的二个封闭曲线 奈氏路径Ts ■5=-j0>-j0→+j0→+j0>-j0 顺时针方向包围整个s右半平面 j0◆ 由于不能通过1+G(s)的任 s平面 何零、极点，所以当Gs)有若 干个极点处于s平面虚轴（包括 原点)上时，以这些点为圆心 +j0 F(s)的极点 作半径为无穷小的半圆，按逆 0 时针方向从右侧绕过这些点。 -j01 10

jω σ j∞ 1 jω 1 − jω F s( )的极点 R ∞ − j∞ − j0 + j0 s平面 奈氏判据： 需要考虑的二个封闭曲线 „ 奈氏路径Γs „ „ 顺时针方向包围整个s右半平面 „ 由于不能通过1+G(s)的任 何零、极点，所以当G(s)有若 干个极点处于s平面虚轴（包括 原点）上时，以这些点为圆心 作半径为无穷小的半圆，按逆 时针方向从右侧绕过这些点。 = − →∞ − → + 00 → + ∞ → − jjjjjs ∞

奈氏判据： 需要考虑的二个封闭曲线 ■『s在GH复平面上的映射TGH n 当变点s顺时针经过整个『s时 G(s)H(s)在复平面上的取值构成封闭曲线「GH Im [GH] (-1,0 ++co 内=0 0-+-co =0+ Re

奈氏判据： 需要考虑的二个封闭曲线 „ Γs在GH复平面上的映射ΓGH „ 当变点s顺时针经过整个Γs时 „ G(s)H(s)在复平面上的取值构成封闭曲线ΓGH

画奈氏图：0型系统 GH(s)= K (Ts+1)(T2s+1) ■起始于正实轴上的有限点 ■按顺时针方向收敛于原点 ■以-(n-m)π/2与坐标轴相切 ■当o从-0变化到0时 ·GH(o)轨迹对称于实轴 画0型系统的GH(Go)轨迹

画奈氏图：0型系统 „ 起始于正实轴上的有限点 „ 按顺时针方向收敛于原点 „ 以-(n-m)π/2与坐标轴相切 „ 当ω从 -∞变化到0-时 „ GH(j ω)轨迹对称于实轴 )1)(1( 21 )( ++ = sTsT K sGH 画0型系统的GH(jω)轨迹

为I、Ⅱ系统修正奈氏路径T. 对于包含积分环节或 共轭虚根的GH(jo), ■1+GH在Γs上有不解析点 0 。-平面 ■GH有若干极点位于虚轴 s)的极点 (包括原点)上 R+0 需对奈氏路径『作修正 64 - (8) 以极点为圆心、作半径r为 3) j 无穷小的半圆 -m0(2) 「按逆时针方向从右侧绕 过极点 ) -00

为Ⅰ、Ⅱ系统修正奈氏路径 Γ s 对于包含积分环节或 共轭虚根的GH(j ω )， „ 1+GH 在 Γ s上有不解析点 „ GH有若干极点位于虚轴 （包括原点）上 „ 需对奈氏路径 Γ s作修正 „ 以极点为圆心、作半径 r 为 无穷小的半圆 „ Γ s按逆时针方向从右侧绕 过极点

极点s=0对应的奈氏路径 Im ■S=0是开环极点 ■奈氏路径改为 +0 ·当s=-j0→+j0时 ·经过以原点为圆心、半径为无 0 穷小的半圆 ·按逆时针方向从右侧绕过原点 -0

极点s=0对应的奈氏路径 „ s=0是开环极点 „ 奈氏路径改为 „ 当s= - j0→+j0时 „ 经过以原点为圆心、半径为无 穷小的半圆 „ 按逆时针方向从右侧绕过原点

极点s=0对应的奈氏曲线 令s=eejo 8→0 当从s=-j0转到+j0时，0从-90°变到+90° Im ■对应的GH曲线 m K(c,8e9+1) +0 G(s)H(S)p i=1 n (e)'Π(T&e°+l) j=U+1 K (&ej0)” =ooe-jve -0 ∠GH(s)从+v90°变到-v90°

„ 令s= ε ejθ ε→0 当从s=-j0转到+j0时，θ从-90°变到+90° „ 对应的GH曲线 ∠GH(s)从+ ν 90°变到- ν 90° jvθ jθ n 1j jθ j jθ m 1i jθ i εes e )e( K εe(T)( 1) K τ εe( 1) G(s)H(s) jθ − += = = ∞== + + = ∏ ∏ υ υ υ ε εe 极点s=0对应的奈氏曲线

s→∞的奈氏路径及曲线 令S=Rei9 R∞ 当从s=+j∞转到j∞时，0从+90°变到-90° Im ■对应的GH曲线 m K∏Re+z) R→0 G(S)H(S) i=1 =8e-jn-m)0 0 Re n Π(Re+p,) j=1 ■对n-m>0的系统，R→∞，e就趋向于零 ·∠GH(s)从-(n-m)90°变到+(n-m)90°

„ 令s= R ejθ R→∞ 当从s=+j∞转到-j∞时，θ从+90°变到-90° „ 对应的GH曲线 „ 对n - m>0 的系统，R→∞，ε就趋向于零 „ ∠GH(s) 从 –( n – m) 90°变到 +(n – m) 90° -j(n m)θ n 1j j jθ m 1i i jθ 1 es e )p(Re )(ReK G(s)H(s) jθ − = = = = + + = ∏ ∏ ε z R s→∞的奈氏路径及曲线

画奈氏曲线小结 当变点s沿修正奈氏路径从j0转到+j0时 ■GH(S)的奈氏曲线是以无穷大为半径的圆弧， 顺时针转过vπ角度。 当变点s沿奈氏路径从+j∞转到j∞时 ■对n>m的系统，GH(s)的奈氏曲线是以无穷小 为半径的圆弧，绕原点逆时针转过(n-m)π

画奈氏曲线小结 „ 当变点 s沿修正奈氏路径从-j0转到+j0 时 „ GH(s)的奈氏曲线是以无穷大为半径的圆弧， 顺时针转过νπ角度。 „ 当变点s 沿奈氏路径从+j∞转到 -j∞时 „ 对n>m的系统，GH(s)的奈氏曲线是以无穷小 为半径的圆弧，绕原点逆时针转过(n – m)π