北京理工大学理学院力学系：《工程力学》课程教学课件（PPT讲稿，下册）附录 II 平面图形的几何性质

工程力学(C) (下册) (26) 北京理工大学理学队力学系韩斌

工程力学（C） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 ( 26) （下册）

附录Ⅱ平面图形的几何性质 1.静矩(一次矩)与形心 任意平面图形A(例如杆的横截面) 建立yz坐标系(x轴为杆的轴线) 平面图形的形心C( 定义图形对y轴的静矩 dA S=edA 图形对z轴的静矩 静矩的单位:mmm:d2

附录 II 平面图形的几何性质 1. 静矩（一次矩）与形心 任意平面图形 A （例如杆的横截面） 建立 yz 坐标系（x轴为杆的轴线） O C(yc ,zc ) y z 平面图形的形心C(yc ,zc ) 定义 图形对 y 轴的静矩  = A y S zdA (II.1) 图形对 z 轴的静矩  = A z 静矩的单位：m S ydA (II.2) 3 ,cm3 ,mm3 A dA

静矩与形心 A 0/C Y S A A C A (I3) C 静矩的性质 (1)静矩与轴有关,可正可负可为零。 (2)若ycz坐标轴过形心,则有 A S.=0 S.=0 C 2 (3)组合图形静矩可分块计算求代数和 2 S.=S21+S2= Ayc+ A, C2 (4)求形心y=5=4n+y2 s A2,,+A A

静矩与形心 O C(yc ,zc ) y z A A S A ydA y A z C = =  A S A zdA z A y C = =  ， （II.3） 静矩的性质 （1）静矩与轴有关，可正可负可为零。 （2）若yC,zC坐标轴过形心，则有 = 0 C y S = 0 C Sz yC zC （3）组合图形静矩可分块计算求代数和 A2 c2 A1 c1 z z1 z2 1 C1 2 C2 S = S + S = A y + A y （4）求形心 A A y A y A S y z C C C 1 1 + 2 2 = = A A z A z A S z y C C C 1 1 + 2 2 = =

2惯性矩(二次矩) 定义图形对y,z轴的轴惯性矩 ACUc L=z dA (I4) A dA -vdA[(5) y 图形对原点的极惯性矩 4j+2)M=2+ 惯性矩的单位:m,cm4,mmf

2.惯性矩（二次矩） 定义 图形对 y，z 轴的轴惯性矩  = A I y z dA 2 (II.4)  = A I z y dA 2 (II.5) 图形对原点的极惯性矩 z y A A p I = dA = y + z dA = I + I   ( ) 2 2 2  (II.6) 惯性矩的单位：m4 ,cm4 ,mm4 O C(yc ,zc ) y z A dA

惯性矩的性质: (1)惯性矩与轴有关,恒为正。 A (2)组合图形惯性矩可 分块计算求代数和。 (3)定义惯性半径,↓ VA yVA

O y z A 惯性矩的性质： （1）惯性矩与轴有关，恒为正。 （2）组合图形惯性矩可 分块计算求代数和。 A2 c2 A1 c1 z y (3)定义惯性半径 iz，iy A I i z z = A I i y y = (II.7) O y z A iz iy

例题 例题I1 §Ⅲ!面图形的几何性质 求矩形截面对轴的惯性矩 解 I:=ydA=ly bdy =b dy dA h2 bh =6 12

例 题 II-1 §II 平面图形的几何性质  例题 求矩形截面对z轴的惯性矩 z h b 解： 3 12 ) 2 ) ( 2 ( 3 3 3 2 2 2 2 2 bh h h b I y dA y bdy b y dy h A A h z = − − = = = =    − dA dy

常见图形的惯性矩: 空心圆形: D 矩形: 圆形: zD4-Td4 bh 64 12 64 zDf C hb 64 D D 32 P (1-a4) 32

常见图形的惯性矩： 矩形： h b y z 圆形： y z d 12 3 bh I z = 12 3 hb I y = 64 4 d I I z y  = = 32 4 d I p  = z 空心圆形： y d D (1 ) 64 64 4 4 4 4     = − − = = D D d I I y z (1 ) 32 4 4   = − D I p D  = d

3惯性积 ACUc 定义 d(L.8 dA y 惯性积的性质: (1)惯性积与轴有关,可正可负可为零。 (2)若y,z轴有一为图形的对称轴,则2=0

3.惯性积 定义  = A yz I yzdA (II.8) 惯性积的性质： （1）惯性积与轴有关，可正可负可为零。 （2）若 y , z 轴有一为图形的对称轴，则 Iyz = 0。 O C(yc ,zc ) y z A dA

4平行移轴公式 若两组坐标轴分别平行,且其 (a, b)1 b z 中一组为形心轴,则 A ZC =1+Aa I9) y L=I+462 10) yC Jca + aa b(u1) A为图形的面积,a,b为形心C在y坐标系中的坐标 平行移轴公式可用于求组合图形的惯性矩

4.平行移轴公式 若两组坐标轴分别平行，且其 O 中一组为形心轴，则 C(a,b) y z A yC zC a b 2 I I Aa C y = y + 2 I I Ab C z = z + I I Aab C C yz = y z + (II.9) (II.11) (II.10) A 为图形的面积，a,b 为形心 C 在 yz 坐标系中的坐标 平行移轴公式可用于求组合图形的惯性矩

例题 例题m-291平面图形的几何性质 H 求T形截面对其形心轴的惯性矩 Ih A,Ic, vo 解:(1)求形心的位置 建立过形心的孤坐标系,及平行于 Cxc轴的z轴 H H Ayc+A Hh+ Hh(h+o) 3h+h [ 2Hh (2)求惯性矩 C 12=12n+h(y-)2+l2+hmh(h+-y2)2 hh h+H、2hH3 h+h + hh +,+h-("-)=团h 5(H2+h)+6Hh

例 题 II-2 §II 平面图形的几何性质  例题 求T形截面对其形心轴的惯性矩。 解： 建立过形心的zCyC坐标系，及平行于 zC轴的z轴 24 5( ) 6 ) 4 ( 12 ) 4 ( 12 ) 2 ) ( 2 ( 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 1 2 H h Hh Hh h H Hh h H hH Hh Hh y H I Hh h h I I Hh y z C z C C z C C + + = + + +  + = +  = +  − + +  + − C zC yC z h (1)求形心的位置 h H H A1 A2 4 3 2 ) 2 ( 2 1 2 1 1 2 2 h H Hh H Hh h h Hh A A A y A y y C C C + = + + = + + = yC (2)求惯性矩 C1 C2