北京理工大学理学院力学系：《工程力学》课程教学课件（PPT讲稿，下册）第八章 虚位移原理（8.1-8.3）

工程力学(C) (19) 北京理工大学理学队力学系韩斌

工程力学（C） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 (19)

§8虛位移原理 关于本章内容:属于分析力学体系 矢量力学(矢量物理量:,,a,D,c,F,M动量K,动量矩D) 牛顿(I. Newton,1642-1727)—牛顿三定律 分析力学(标量物理量:广义坐标q,广义速度q,能量 T,V,功W 拉格朗日(J.L. Lagrange,1736-1813)—虚位移原理 本章将虚位移原理用于静力学平衡问题。 优点:可避开不必求的许多中间未知约束力

§8 虚位移原理 关于本章内容：属于分析力学体系 矢量力学(矢量物理量： r v a F M 动量 K 动量矩 L )          , , ,,, , , , 牛顿(I. Newton,1642-1727) 分析力学(标量物理量：广义坐标 ，广义速度 ,能量 T，V，功W ) i q i q  拉格朗日(J.-L. Lagrange,1736-1813) 本章将虚位移原理用于静力学平衡问题。 优点：可避开不必求的许多中间未知约束力。 ——牛顿三定律 ——虚位移原理

§8.1位形、约束方程及约束分类 1质点系的位形 n个自由质点组成的质点系—任一质点D的位置 可由其直角坐标x1,y121(=1~m)确定,称这3n个 坐标的集合为该质点系的位形,位形给定则质点系 中每一质点的位置就可确定。 n个质点的非自由质点系—设自由度k≤3n, 可用广义坐标q1~4k确定质点系的位形: F=F(q12q2,…9k2D)i=1,…,n(81) 或x=x(qn22;…,9k,1)1=1,3n(82) 2.约束方程及分类 用数学方程式表示的约束条件,称为约束方程 系统自由度k=3m-1其中l为独立的完整约束方程数

§8 .1 位形、约束方程及约束分类 1.质点系的位形 2. 约束方程及分类 用数学方程式表示的约束条件，称为约束方程。 系统自由度k = 3n−l其中l 为独立的完整约束方程数。 n个自由质点组成的质点系——任一质点 的位置 可由其直角坐标 确定，称这3n个 坐标的集合为该质点系的位形，位形给定则质点系 中每一质点的位置就可确定。 Di i i i x , y ,z (i = 1 ~ n) n个质点的非自由质点系——设自由度 ， 可用广义坐标 确定质点系的位形： k  3n q1 ~ qk ( , , , , ) 1 2 x x q q q t i = i  k ( , , , , ) 1 2 r r q q q t i i  k   = 或 (8.1) (8.2) i =1,..., n i =1,...,3n

例1质点在平面的槽内运动。 位形(x,y)约束方程y=0(1)M(xy 自由度k=1 例2.质点在曲面上运动。 位形(x,y,z) 约束方程即曲面方程∫(x,y,z)=0(2) 自由度k=2 例3.质点A,B用绳子相连,且绳长l=l() 位形( XAAXXB)y3) 约束方程1(x4-x州)2P()(4) B广义坐标可选择q1=xA2q2=b 自由度k=2

位形 (x, y) 例2. 质点在曲面上运动。 位形 (x, y,z) 约束方程即曲面方程 f (x, y,z) = 0 （2） 例1.质点在平面的槽内运动。 y O x M (x, y) 自由度 k =1 自由度 k = 2 例3. 质点A，B用绳子相连，且绳长 l = l (t ). x y B A  xA 广义坐标可选择 q1 = xA ,q2 = 位形(xA,yA,xB,yB) 约束方程 y = 0 （1） 约束方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x y y l t A B A B − + −  yA= 0 （3） （4） 自由度 k = 2 M

根据研究目的的不同,约束可有不同的分类方式: 何约束一只约束位形 运动约束—除约束位形外还约束速度 双面约束一如约束方程y=0f(x,y,2)=0yA=0 单面约束一如约束方程(x1-x2)2+(y4-y)2≤( 完整约束一只涉及位形 1非完整约束一还涉及速度且不可积分 袁定常约束(不显含时间t 如约束方程y=0f(x,y,-)=0y=0 非定常约束(显含时间t) 如约束方程(x4-x)2+(y4-y)2≤()

根据研究目的的不同，约束可有不同的分类方式： 双面约束 单面约束 —如约束方程 y = 0 f (x, y,z) = 0 yA= 0 —如约束方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x y y l t A B A B − + −  完整约束 非完整约束 —只涉及位形 —还涉及速度且不可积分 定常约束（不显含时间t） 非定常约束（显含时间t） —如约束方程 y = 0 f (x, y,z) = 0 yA= 0 —如约束方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x y y l t A B A B − + −  几何约束 运动约束 —只约束位形 —除约束位形外还约束速度

§8.2实位移虚位移 1.位移 质点M的位移: dr dx 3 M质点系的位移:n个质点,k个自由度 广义坐标q1~qk ks 3n 质点系的位形 7(q22,…qk,1)(=12,…,m)(8 x=x(q12q2…,qk2)(i=1,2,…,3m)(82) k 质点(=∑ d,+dt(i=1,2,…,n) at (8.3) 系的 i=1 C 位移 k ox ax ∑ dlg1+-at(i=12;,3m)(8.4) at 其中dqs,(S=1,2,…,k)广义位移(dt时间qs的增量)

§8.2 实位移 虚位移 1. 位移 M r  x3 x1 O x2 质点M的位移： dxi dr  质点系的位移： n个质点，k个自由度 广义坐标 k k  3n q1 ~ q 质点系的位形 ( , , , , ) 1 2 x x q q q t i = i  k ( , , , , ) 1 2 r r q q q t i i  k   = (8.1) (8.2) (i =1,2,  ,n) (i =1,2,  ,3n) dt (i =1,2,  ,n) t r dq q r dr i k i j j i i   +   ==    1 dt t x dq q x dx i k i j j i i   +   ==1 (i =1,2,  ,3n) (8.3) (8.4) 质点 系的 位移 其中 dq ,(s 1,2,..., k) S = 广义位移（dt时间qS的增量）

2.实位移 若质点系的位移或广义位移满足以下2个条件: (1)满足质点系的约束条件 (2)满足质点系的动力学方程及初始条件 则称其为实位移或广义实位移。 实位移是惟一确定的真实位移。 3.虚位移 若质点系的位移或广义位移只满足质点系的约束条件 就称为虚位移或广义虚位移。 虚位移是系统约束允许的任意假想位移, 与主动力无关,与时间无关,且不惟一

2. 实位移 3. 虚位移 若质点系的位移或广义位移满足以下2个条件： （1）满足质点系的约束条件 （2）满足质点系的动力学方程及初始条件 则称其为实位移或广义实位移。 实位移是惟一确定的真实位移。 若质点系的位移或广义位移只满足质点系的约束条件， 就称为虚位移或广义虚位移。 虚位移是系统约束允许的任意假想位移， 与主动力无关，与时间无关，且不惟一

实位移表示为: d=∑。如1+t O k ax +=at(i=1,2,…,3m) at 虚位移表示为: C=∑。1(=12…,n)(85 k dX (=12…,3n)(8.6) 虚位移彷、,又称为、q的变分〔等时变分)

实位移表示为： dt (i =1,2,  ,n) t r dq q r dr i k i j j i i   +   ==    1 dt t x dq q x dx i k i j j i i   +   ==1 (i =1,2,  ,3n) 虚位移表示为： j k j j i i q q r r   =   = 1   (i =1,2,  ,n) j k j j i i q q x x   =   = 1 (i =1,2,  ,3n) (8.5) (8.6) 虚位移 ri 又称为 的变分(等时变分）。   、 qj i r  j 、q

实位移与虚位移间的关系: 例如:当质点在某瞬时处于静止时,C=0 但不一定为0 nor 在定常几何约束情况下,实位移为多个虚位移中的一个。 例如: or A 8,/M a dr Sr

实位移与虚位移间的关系： 例如：当质点在某瞬时处于静止时， dri = 0  但 i r   不一定为0 在定常几何约束情况下，实位移为多个虚位移中的一个。 例如： M i dr  i r   i r   i r   P A O A A A dr  A r   A r  

但在非定常和运动约束情况下则不然。 例如: O 本章为静力学,仅限于讨论定常、几何约束情况。 注薰对自由度为k的质点系(刚体或刚体系) 位形,x→各点虚位移或∝不独立 广义坐标位形 q(j=12…,k)→广义虚位移c/(=12…k)独立 将各点虚位移∝或∝用独立的广义虚位移表示出来

本章为静力学，仅限于讨论定常、几何约束情况。 但在非定常和运动约束情况下则不然。 x y O M D v  t D r   dy D dr  vdt 例如： 对自由度为k的质点系（刚体或刚体系） 位形 i i r , x  各点虚位移 ri 或 不独立   xi 注意 广义坐标位形 q ( j 1,2 , k) j =  q ( j 1,2 , k) 广义虚位移  j =  独立 将各点虚位移 ri或 用独立的广义虚位移表示出来。   xi