上海交通大学：《传热学》课程教学资源（课件讲稿）第三章 非稳态导热 § 3-3 典型一维物体非稳态导热的分析解 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 第四章 导热问题的数值解法 4-1 导热问题数值求解的基本思想 4-2 内节点离散方程的建立方法 4-3 边界结点离散方程的建立及代数方程的求解

Quick Review §3-3典型一维物体非稳态导热的分析解 ()要求会写出数学描述，包括导热微分方程、初始条件和 边界条件 2)要求遇到非稳态问题，首先要考察Bi,其次考察Fo,之 后才能确定用哪种方法来处理这个非稳态传热问题 (3)Fo>0,2时，板中心温度的特点 (4)要求会画出非稳态传热过程的温度分布示意图，包括不 同时刻 (5)最大传热量和某时间内的传热量计算 (6)一维非稳态传热的工程算法及分析解的应用条件（了解） 第三章非稳态导热

第三章 非稳态导热 1 Quick Review § 3-3 典型一维物体非稳态导热的分析解 (1)要求会写出数学描述，包括导热微分方程、初始条件和 边界条件 (2)要求遇到非稳态问题，首先要考察Bi，其次考察Fo，之 后才能确定用哪种方法来处理这个非稳态传热问题 (3)Fo>0.2时，板中心温度的特点 (4)要求会画出非稳态传热过程的温度分布示意图，包括不 同时刻 (5)最大传热量和某时间内的传热量计算 (6)一维非稳态传热的工程算法及分析解的应用条件（了解）

Quick Review §34丰无限大物体的非稳态导热 ()半无限大物体的概念（了解） (2)要求会写出数学描述，包括导热微分方程、初始条件和 边界条件 (3)半无限大物理的判断n=x4aπ (4)边界面上的热流通量计算 (5)O,内穿过表面的累计能量及吸热集数 (6)多维物理的非稳态导热（了解） 第三章非稳态导热 2

第三章 非稳态导热 2 Quick Review §3-4 半无限大物体的非稳态导热 (1)半无限大物体的概念（了解） (2)要求会写出数学描述，包括导热微分方程、初始条件和 边界条件 (3)半无限大物理的判断 (4)边界面上的热流通量计算 (5) [0,τ]内穿过表面的累计能量及吸热系数 (6)多维物理的非稳态导热（了解） η τ = x a4

第四章导热问题的数值解法 4-1导热问题数值求解的基本思想 4-2内节点离散方程的建立方法 4-3边界结点离散方程的建立及代数方程的求解 44非稳态导热问题数值求解 第三章非稳态导热 3

第三章 非稳态导热 3 4-1 导热问题数值求解的基本思想 4-2 内节点离散方程的建立方法 4-3 边界结点离散方程的建立及代数方程的求解 4-4 非稳态导热问题数值求解 第四章 导热问题的数值解法

第四章导热问题的数值解法 §4-0引言 1求解导热问题的三种基本方法： (1)理论分析 (2)实验 (3)数值计算 2三种方法的基本求解过程 3三种方法的特点 4以一维平板为例 第三章非稳态导热 A

第三章 非稳态导热 4 §4-0 引言 1 求解导热问题的三种基本方法： (1) 理论分析 (2)实验 (3)数值计算 2 三种方法的基本求解过程 3 三种方法的特点 4 以一维平板为例 第四章 导热问题的数值解法

§4-1导热问题数值求解的基本思想 区域离散化 建立离散方程 物理问题的数值求解过程 确定迭代方法 设定温度初场 求解代数方程组 改进初场 是否收敛 否 是I 解的分析 第三章非稳态导热 5

第三章 非稳态导热 5 §4-1 导热问题数值求解的基本思想 物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程 区域离散化 建立离散方程 确定迭代方法 设定温度初场 求解代数方程组 是否收敛 解的分析 改进初场 是 否

1区城离散化 相关概念： (m,n) 节点（结点）： 控制体（控制容积）： 空间步长： n 网格线： 界面： △y 节点的表示方法： (m,n) △X M 横坐 纵坐 m 标节 标节 点编 点编 号 第三章非稳态导热 6

第三章 非稳态导热 6 相关概念： 节点（结点）： 控制体（控制容积）： 1 区域离散化 空间步长： 网格线： 界面： 节点的表示方法： （m，n） 横坐 标节 点编 号 纵坐 标节 点编 号 x y ∆x ∆y n m (m,n) M N

2离散方程的建立 (I)Taylor级数展开法； (2)多项式拟合法； (3)控制容积积分法； (4)控制容积平衡法（也称为热平衡法） 第三章非稳态导热 7

第三章 非稳态导热 7 2 离散方程的建立 (1) Taylor级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)

(mn+1 ()泰勒级数展开法 (m-1,n)(mn） (m+1,n) 根据泰勒级数展开式，用节点，(m,n)的温度tmn (m,n-1) 来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n a21 4r2 △x+ 十… m.n Ox2 2！ 3! m.n m.n 用节点.(m,n)的温度tmn来表示节点(m-l,n)的温度tm-l,n 8t 82t △x2 8't △x3 tm-ln=tnmn △x+ Ox 6x2 十…… 2!Ox3 3 m.n m n 第三章非稳态导热 8

第三章 非稳态导热 8 (1) 泰勒级数展开法 根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n 来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n + ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ + = + 2! 3! 3 , 3 2 3 , 2 2 , 1, , x x x t x t x x t t t m n m n m n m n m n + ∆ ∂ ∂ − ∆ ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ − = − 2! 3! 3 , 3 2 3 , 2 2 , 1, , x x x t x t x x t t t m n m n m n m n m n 用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的温度tm-1,n (m,n) (m,n+1) (m+1,n) (m,n-1) (m-1,n)

()泰勒级数展开法 (m-1,n(mn)(m+1,n) 若取上面式右边的前三项，并将两式相加 移项整理即得二阶导数的中心差分： (mn-1) ∂2t tmn-2mnm(Ax2) Ox2 △x2 m.n 截断误差 同理可得： 821 tnnl-2mn+ta+O(△y2) 8y2 △y2 m.n 第三章非稳态导热 9

第三章 非稳态导热 9 若取上面式右边的前三项，并将两式相加 移项整理即得二阶导数的中心差分： ( ) 2 2 2 1, , 1, , 2 2 o x x t t t x t m n m n m n m n + ∆ ∆ − + = ∂ ∂ + − 截断误差 (1) 泰勒级数展开法 ( ) 2 2 2 , 1 , , 1 , 2 2 o y y t t t y t m n m n m n m n + ∆ ∆ − + = ∂ ∂ + − 同理可得： (m,n) (m,n+1) (m+1,n) (m,n-1) (m-1,n)

02t 1mln-2tmm+im-ln十o(△x2) 821 taH-2tnn+imn+o(△y2) @x2 △x2 8y2 △y2 m.n m.n 对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为： a2t2t (mn+1 (m-1,n(mn)(m+1,n) 其节点方程为： (mb-1) w-24,+y+加+"2 △x2 42 第三章非稳态导热 10

第三章 非稳态导热 10 对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为： ( ) 2 2 2 1, , 1, , 2 2 o x x t t t x t m n m n m n m n + ∆ ∆ − + = ∂ ∂ + − ( ) 2 2 2 , 1 , , 1 , 2 2 o y y t t t y t m n m n m n m n + ∆ ∆ − + = ∂ ∂ + − 1, , 1, , 1 , , 1 , , 2 2 2 2 0 i j i j i j i j i j i j vi j t tt t tt x y λ + −+ − −+ −+ Φ + += ∆ ∆  其节点方程为： (m,n) (m,n+1) (m+1,n) (m,n-1) (m-1,n) 2 2 2 2 0 t t g x y λ ∂ ∂ Φ ++= ∂ ∂ 