上海交通大学：《传热学》课程教学资源（课件讲稿）第二章 导热基本定律及稳态导热 §2-3 典型一维稳态导热问题的分析解 2-4 通过肋片的导热

Quick Review: 1重要概念：温度场、温度梯度、导热系数及其性质、 导温系数（热扩散率）定义及性质； 2导热微分方程式的理论基础及推导过程 3导热微分方程式的一般形式、组成、及推导在给定条 件下的具体形式； 4 灵活运用导热微分方程，如温度的空问分布通过导热 方程与时间分布建立联系等 5定解条件？三类边界条件的数学表达式？

1 Quick Review： 1 重要概念：温度场、温度梯度、导热系数及其性质、 导温系数（热扩散率）定义及性质； 2 导热微分方程式的理论基础及推导过程 3 导热微分方程式的一般形式、组成、及推导在给定条 件下的具体形式； 4 灵活运用导热微分方程，如温度的空间分布通过导热 方程与时间分布建立联系等 5 定解条件？三类边界条件的数学表达式？

第二章导热基本定律及稳态导热 2-1导热基本定律 2-2导热问题的数学描写 2-3典型一维稳态导热问题的分析解 24通过肋片的导热 2-5具有内热源的一维导热问题 2-6多维稳态导热的求解 2

2 第二章 导热基本定律及稳态导热 2-1 导热基本定律 2-2 导热问题的数学描写 2-3 典型一维稳态导热问题的分析解 2-4 通过肋片的导热 2-5 具有内热源的一维导热问题 2-6 多维稳态导热的求解

§2-3典型一维稳态导热问题的分析解 本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和 圆筒内的导热。 Ot t、, ot、, a 直角坐标系： (入 )+Φ &x 1单层平壁的导热 a几何条件：单层平板（一维）；δ b物理条件：p、c、2为常数并己知；无内热源 c时间条件：稳态导热：t/Oπ=0 d边界条件：第一类 根据这些条件，如 何建立数学描述？ 3

3 §2-3 典型一维稳态导热问题的分析解 本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和 圆筒内的导热。 直角坐标系： Φ z t y z t x y t x t c +  ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ (λ ) (λ ) (λ ) τ ρ 1 单层平壁的导热 o δ x a 几何条件：单层平板(一维)；δ b 物理条件：ρ、c、λ 为常数并已知；无内热源 c 时间条件：稳态导热 :∂t ∂τ = 0 d 边界条件：第一类 根据这些条件，如 何建立数学描述？

§2-3典型一维稳态导热问题的分析解 根据上面的条件可得： 控制 方程 d2t =0 边界 第一类边条： x=0,t=t1 条件 x=6,t=t2 求解 X 方法 dt t 直接积分，得： =C1→t≌Cx+C2 dx 带入边界条件： → δ C2=t1

4 x o δ t1 t t2    = = = = 2 1 , 0, x t t x t t δ 直接积分，得： 1 1 2 c t c x c dx dt = ⇒ = + 根据上面的条件可得： 第一类边条： 0 d d 2 2 = x t + ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ Φ x t x t c  (λ ) τ ρ 控制 方程 边界 条件 求解 方法 带入边界条件：      = − = ⇒ 2 1 2 1 1 c t t t c δ §2-3 典型一维稳态导热问题的分析解

§23典型一维稳态导热问题的分析解 线性分布 [=24x+6 8 g=- t2-t1 △t → dt 2-t 带入oue定律 6/ dx 8 △t Φ δ/(A2) 6 8 = R A元 5

5                 ∆ Φ = ∆ = − = − ⇒ ⇒ ⇒ − = + − = ⇒ ( ) d d 2 1 2 1 1 2 1 δ λ δ δ λ λ δ δ A t t t t q t t x t x t t t t 带入Fourier 定律 λ δ λ δ λ λ A r = R = 线性分布 §2-3 典型一维稳态导热问题的分析解

§23典型一维稳态导热问题的分析解 2多层平壁的导热 多层平壁：由几层不同材料组成 必边界条件：x=0 t=t t in+l 元2 i=l 熟阻： ò2ò3x 三层平壁的稳态导热

6 2 多层平壁的导热 t1 t2 t3 t4 t1 t2 t3 t4 三层平壁的稳态导热 多层平壁：由几层不同材料组成  边界条件： 1 1 1 0 + = = = = = ∑ n n i i x t t x t t δ  热阻： n n n r r λ δ λ δ = , , = 1 1 1  §2-3 典型一维稳态导热问题的分析解

§23典型一维稳态导热问题的分析解 由热阻分析法： q=4-l1=4-1 i=l 问：知道了q,如何计算其中第i层的右侧壁温？ 第一层： g-2→=4-9元 元1 1 第二层： 9= t2-t3 02 62 : Rx2 t3 6 7

7 由热阻分析法： ∑ ∑ = + = + − = − = n i i i n n i i n t t r t t q 1 1 1 1 1 1 λ δ 问：知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？ 第一层： 1 1 2 1 1 1 1 2 ( ) λ δ δ λ t t q t t q ⇒ = − − = 第二层： 2 2 3 2 2 2 2 3 λ δ δ λ t t q t t q ⇒ = − − =   第 i 层： i i i i i i i i t t q t t q λ δ δ λ ⇒ = − − = + + 1 11 t 1 t2 t3 t4 t1 t2 t3 t4 §2-3 典型一维稳态导热问题的分析解

§23典型一维稳态导热问题的分析解 多层、第三类边条 t in-1r2 q 1+0+1 h2 白h2 元2 to W 单位： ò2ò3 2 m 总传热系数？ R Rx2 t3 2 三层平壁的稳态导热 8

8 1 1 2 1 2 1 1 h h t t q n i i i f f + + − = ∑ = λ δ       2 m W 单位： t1 t2 t3 t2 三层平壁的稳态导热 tf1 t2 t3 tf2 h1 h2 tf2 tf1 ？ ？ 总传热系数？ 多层、第三类边条 §2-3 典型一维稳态导热问题的分析解

§2-3典型一维稳态导热问题的分析解 3单层圆简壁的导热 圆柱坐标系： pc -1(w)+(a)+(a)+ 一维、稳态、无内热源、常物性： = tw2 -dt =0 (a) dr dr 第一类边界条件： r=r时t=tw1 (a 1 r=2时t=t2 2πλ 9

9 3 单层圆筒壁的导热 圆柱坐标系： Φ z t z t r r t r r r t c +  ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 λ ϕ λ ϕ λ τ ρ 一维、稳态、无内热源、常物性： 第一类边界条件：    = = = = 2 2 1 1 w w r r t t r r t t 时 时 ) 0 d d ( d d = r t r r (a) §2-3 典型一维稳态导热问题的分析解

§2-3典型一维稳态导热问题的分析解 对上述方程(a)积分两次： 第一次积分 第二次积分 dt =G→t=Ghr+c2 应用边界条件 tw =cIn+c2;tw2 =cnr+c2 获得两个系数 a-7 tw2 -. c=t1-2-iln2万) In n (5/i) → t=t1+ t2-hInrin) 将系数带入第二次积分结果 n2/i) 显然，温度呈对数曲线分布 r=时t=tw1 r=2时t=2

10 对上述方程(a)积分两次: 1 1 2 c t c ln r c dr dt r = ⇒ = + 1 1 1 2 2 1 2 2 t c ln r c ; t c ln r c w = + w = + ln( ) ln ; ( ) ln( ) 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 r r r c t t t r r t t c w w w w w = − − − = 第一次积分 第二次积分 应用边界条件 获得两个系数 ln( ) ln( ) 1 2 1 2 1 1 r r r r t t t t − ⇒ = + 将系数带入第二次积分结果 显然，温度呈对数曲线分布    = = = = 2 2 1 1 w w r r t t r r t t 时 时 §2-3 典型一维稳态导热问题的分析解