《函数与极限》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.7）无穷小的比较 Ranks of Infinitesimals

17无穷小的比较 Ranks of infinitesimals

October, 2004 1.7 无穷小的比较 Ranks of Infinitesimals

无穷小的比较 设limc=0imB=0 (1)im=0→是比a高阶的无穷小 C 记a=0(6 此时lima=∞也说a是比B低阶的无穷小 B 注意:1imn0o(a) October 2004

October, 2004 无穷小的比较 设 lim 0  = lim 0  = (1) lim 0   =   是比 高阶的无穷小 记   = o( ) lim  此时 =  也说  是比 低阶的无穷小 注意： ( ) lim 0 o   =

(2)im2=c≠0→B与a是同阶无穷小 C 记a=O(6) )imb=1→B与a是等价无穷小 记a~B 等价无穷小也是同阶无穷小 但同阶无穷小一般不是等价的 October 2004

October, 2004 (2) lim 0 c   =     与 是同阶无穷小 记   = O( ) (3) lim 1   =    与 是等价无穷小 记   等价无穷小也是同阶无穷小 但同阶无穷小一般不是等价的

设lima=0 且im=C≠0(>0)即a与x同阶 x->0 则称a是x的阶无穷小 定级别(rank October 2004

October, 2004 设 0 lim 0 x  → = 0 lim 0 k x c x  → 且 =  ( 0) k  k 即 与 x 同阶 则称 是 x的k阶无穷小 定级别(rank)

无穷小的比较 im2=0B是比a高阶的无穷小B=0(a C imB=c≠0B与a是同阶无穷小 C im=1B与a是等价无穷小a~B imnk=C≠0是x的阶无穷小 October 2004

October, 2004 lim 0   =   是比 高阶的无穷小   = o( ) lim 0 c   =    与 是同阶无穷小 lim 1   =   与 是等价无穷小   0 lim 0 k x c x  → =  是x的k阶无穷小 无穷小的比较

例比较无穷小:3x2,x(x>0 解 Bx =lim 3 2 lim X=0 x->0 X x->0 3x2是x的高阶无穷小 即3x2=0(x)定性 Bx im 3≠0 x→>0x 3x2是x的2阶无穷小定量 October 2004

October, 2004 例 比较无穷小： 2 3 , ( 0) x x x → 解 2 0 3 lim x x → x 0 lim3 x x → = = 0 2  3x x 是 的高阶无穷小 即 2 3 ( ) x o x = 定性 2 0 2 3 lim x x x → = 3  0 2  3x x 是 的2阶无穷小 定量

2 例比较无穷小: (n→>∞) n+13n+2 解 n+1=lim 3n+1 n→ 2 n→0 2(n1) ×0 3n+1 是同阶无穷小(不等价) n+13n+2 October 2004

October, 2004 例 比较无穷小： 1 2 , ( ) 1 3 2 n n n →  + + 解 1 1 lim 2 3 1 n n n → + + 3 1 lim 2( 1) n n → n + = + 3 2 =  0 1 2 n n 1 3 2  + + 与 是同阶无穷小（不等价）

例比较无穷小:1-c0sx,x2(x->0) 解 1-COSx 1 m 51 x->0 2 与x2是同阶无穷小(x→>0) 1-cosx是x的2阶无穷小(x→>0) m 11-cosx与—是等价无穷小 x->0 1-coS x 2 October 2004

October, 2004 例 比较无穷小： 2 1 cos , ( 0) − → x x x 解 2 0 1 cos lim x x → x − 1 2 = 2  − → 1 cos ( 0) x x x 与 是同阶无穷小 p.51 1 cos 2 ( 0) − → x x x 是 的 阶无穷小 0 2 1 cos lim 1 1 2 x x x → − = 2 1 cos 2 x − x 与 是等价无穷小 2 1 cos 2 x − x

Xx,x (x→>0 均为无穷小,且阶数递增 后面的无穷小是前面的无穷小的高阶无穷小 x"=o(x")(n>m) 如 x2=0(x)x3=0(x)x3=0(x2) X =o( October 2004

October, 2004 例 2 3 , , , ... , ,... ( 0) n x x x x x → 均为无穷小，且阶数递增 后面的无穷小是前面的无穷小的高阶无穷小 ( ) ( ) n m x o x n m =  2 x o x = ( ) 3 x o x = ( ) 3 2 x o x = ( ) 5 3 x o x = ( ) 如

例比较无穷小: a=x2+x3,B=x2(x-0) 解 C 2+x3=in(1 x->0 x->0 x->0 X =lim(1+x)=1 a-B x2+x3=x 低阶无穷小+高阶无穷小等价于低阶无穷小 a+o(a)-a October 2004

October, 2004 例 比较无穷小： 2 3 2   = + = → x x x x , ( 0) 解 0 lim x  →  2 3 2 0 lim x x x → x + = 3 2 0 lim(1 ) x x → x = + 0 lim(1 ) x x → = + = 1    2 3 2 x x x + 低阶无穷小＋高阶无穷小 等价于 低阶无穷小    + o( )