《函数与极限》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.9）连续函数的运算 Operations of Continuous Functions

19连续函数的运算 Operations of Continuous Functions

October, 2004 Operations of Continuous Functions 1.9 连续函数的运算

连续函数的四则运算 设函数八x)和g(x)在点x处连续,则 f(x)±g(x)f(x)g(x) f(x) (g(x)≠0) g(x) 也在点x0处连续。 October 2004

October, 2004 一、连续函数的四则运算 设函数 f(x) 和 g(x) 在点 x0 处连续，则 f x g x ( ) ( )  f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x 0 ( ( ) 0) g x  也在点 x0 处连续

证:limf(x)=f(x) x->x0 lim g(x)=g(xo) x->x0 limf(x)+g(x)=lim f(x+lim g(x) x→>x0 x->0 x-0 =f(x0)+g(x0 所以f(x)+g(x)在点x0处连续。 October 2004

October, 2004 证 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 0 0 lim ( ) ( ) x x g x g x → = 0 lim[ ( ) ( )] x x f x g x →  + 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x g x → → = + 0 0 = + f x g x ( ) ( ) 所以 f x g x ( ) ( ) + 在点 x0 处连续

推论 两个连续函数的和、差、积、商(分母不 为零处)仍为连续函数 例如,由sinx和cosx的连续性,以下三 角函数在其定义域内处处连续: sInx tanx= cot x sInx secx= CSCX= October 2004

October, 2004 两个连续函数的和、差、积、商（分母不 为零处）仍为连续函数 推论 例如， 由 sinx 和 cosx 的连续性，以下三 角函数在其定义域内处处连续： sin tan cos x x x = cos cot sin x x x = 1 sec cos x x = 1 csc sin x x =

反函数和复合函数的连续性 October 2004

October, 2004 二、反函数和复合函数的连续性

反函数函数的连续性 设y=(x)在区间I=(a,b)上单调且连续,则其 反函数x=∫)在区间J=(1上单调且连续。 证明思路 f(/ y=f(x) lim△y=0 Ax->0 y △ lim△x=0 a XX October 2004

October, 2004 反函数函数的连续性 设 y = f(x) 在区间 I = (a, b) 上单调且连续，则其 反函数 x = f –1 (y) 在区间 J =f(I) 上单调且连续。 证明思路 0 lim 0 x y  →  = 0 lim 0 y x  →  = y f x = ( ) 0 x x 0 y y x y 1 x f y( ) − = a b

以下三角函数在相应区间单调连续 y=sin x x≤ y=cOsx0<x≤兀 y=tan x <x< y=cotx0<x<丌 October 2004

October, 2004 y x = sin 2 2 x   −   y x = cos 0  x  y x = tan 2 2 x   −   y x = cot 0  x  以下三角函数在相应区间单调连续

它们的反函数也在相应区间单调且连续 y= arcsin x-1≤x≤1 y= arccos x-1≤x≤1 y= arctan x-∞<x<+∞ y=arc cot x -o<x< +o October 2004

October, 2004 它们的反函数也在相应区间单调且连续 y x = arcsin −   1 1 x y x = arccos −   1 1 x y x = arctan −   + x y x = arccot −   + x

y=sin x y=arcsin x 1≤x<1 X 05 .4 5 0.8 plot(sin(x), x=-Pi/2. Pi/2 1..1, scaling=constrained, color=bl d, co ue, thickness=3) 2004

October, 2004 y x = sin 2 2 x   −   plot([sin(x),x,x= - 1.5..1.5],scaling=constrained,color =blue,thickness=4); plot(sin(x),x= -Pi/2..Pi/2,y= - 1..1,scaling=constrained,color=bl ue,thickness=3); y x = arcsin −   1 1 x

y=arcsin x y=sinx 1.5 5 0.5 15 0.51 with(plots): A: =plot([x, sin(x),x=-P1/2. Pi/21, scaling=constrained, color=red, thickness=4): B: -plot(sin(x),x, x=-1.5.1. 5], scaling =constrained, color=blue, thickness=4): display(, B)i October 2004

October, 2004 y x = sin with(plots): A:=plot([x,sin(x),x=-Pi/2..Pi/2],scaling=constrained,color=red,thickness=4): B:=plot([sin(x),x,x=-1.5..1.5],scaling=constrained,color=blue,thickness=4): display(A,B); y x = arcsin