《函数与极限》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.2）数列的极限 Limits of Sequences

12数列的极限 Limits of sequences

October, 2004 1.2 数列的极限 Limits of Sequences

、数列极限的定义 数列:按某种顺序排列出来的无穷多个数。 Sequence 52539°°,n5°° 一般项 数列可简记为{xn} October 2004

October, 2004 一、数列极限的定义 数列 ：按某种顺序排列出来的无穷多个数。 1 x 2 , x 3 , x ,... , n x ,... 一般项 数列可简记为 { }n x Sequence

数列的例子 {n}1,2,3,…,.n,,自然数列 ●●● ●● n+1 n+1 October 2004

October, 2004 数列的例子 { }n 1, 2, 3, ..., , ... n 自然数列 1 { } n 1 1 1 1, , , ..., , ... 2 3 n 1 2 2 , 3 3 , 4 , 1 n n + { } ,... ,... 1 n n +

{(-1)}1,-1,1,-1,…,(-1) n+1 n+ 14 n+(-1) n+1 23 {a}a,a,a,…,a,,常数列 October 2004

October, 2004 2 1 , 2 4 , 3 1 ( 1) , n n n + + − ,... ,... 1 ( 1) { } n n n + + − { }a a a a a , , , ..., , ... 常数列 1 , 1− ,1 , 1− ,... 1 , ( 1)n+ − 1 ,... {( 1) } n+ −

数列{xn}可以看成自然数集N到实数集R 的映射: f:N→>Rf:n→>xn xn=f(m)(m=1,2,3,…)整标函数 1234 October 2004

October, 2004 f : N R → 数列 {xn } 可以看成自然数集N 到实数集 R 的映射： : n f n x → ( ) n x f n = ( 1, 2, 3, ...) n = 1 2 3 4 n 2 x 4 x 1 x 3 x n x 整标函数

单调数列 递增数列{xn}: x1x2>x3>…>Xn-1>xn> October 2004

October, 2004 单调数列 递增数列 {xn } ： 1 2 3 1 ... ... n n x x x x x       − 递减数列 {xn } ： 1 2 3 1 ... ... n n x x x x x       − 2 x 4 x 1 x 3 x n ... x 2 x4 x 1 x 3 xn ... x

讨论下列数列的单调性: {n}1,2,3,,n, 递增 递减 23 9 n+1234 n+1 递增 October 2004

October, 2004 讨论下列数列的单调性： { }n 1, 2, 3, ..., , ... n 1 { } n 1 1 1 1, , , ..., , ... 2 3 n 1 2 2 , 3 3 , 4 , 1 n n + { } ,... ,... 1 n n + 递增 递减 递增

{(-1)}1,-1,1,-1,…,(-1) 无单调性 n+1 n+ 14 n+(-1) n+1 23 无单调性 {a}a,a,a,…,a, 无单调性 在严格的意义下 October 2004

October, 2004 2 1 , 2 4 , 3 1 ( 1) , n n n + + − ,... ,... 1 ( 1) { } n n n + + − { }a a a a a , , , ..., , ... 1 , 1− ,1 , 1− ,... 1 , ( 1)n+ − 1 ,... {( 1) } n+ − 无单调性 无单调性 无单调性 在严格的意义下

有界数列 数列{xn}有界:彐M>0使得 xl≤M(n=1,2,3,…) M≤xn≤M(n=1,2,3, 数列{xn}有界当且仅当 M>0,Mn∈N(x≤M) October 2004

October, 2004 有界数列 数列 {xn } 有界 ：   M 0 使得 n x M ( 1, 2, 3, ...) n = −   M x M n ( 1, 2, 3, ...) n = 数列 {xn } 有界当且仅当 0, ( )      M n x M N n

数列{xn}有界:彐M>0使得 x|≤M(n=1,2,3,…) 或M≤x.<M(n=1,2,3,…) 0000000 October 2004

October, 2004 数列 {xn } 有界 ：   M 0 使得 n x M ( 1, 2, 3, ...) n = 或 −   M x M n ( 1, 2, 3, ...) n = 2 x 4 x 1 x 3 x n −M x M