《函数与极限》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.3）函数的极限 Limits of Functions（2/2）

、函数极限的定义 2.自变量趋于无穷大时函数的极限 lim f(x=A X→0 September. 2004

September, 2004 一、函数极限的定义 2. 自变量趋于无穷大时函数的极限 lim ( ) x f x A →  =

定义2(极限limf(x)=A的定义) x→0 imf(x)=A是指: x→0 E-X定义 VE>0彐x>0使得当 x>X时,就有 f(x)-4,X>0,Vx: x>X=f(x)-A<8 September 2004

September, 2004 定义 2 （极限 lim ( ) x f x A → = 的定义） 使得当 lim ( ) x f x A → = 是指：    0   X 0 x X  时，就有 f x A ( ) −   成立        −    0, 0 , : ( ) X x x X f x A 或  − X 定义

VE>0,X>0,wx:||>X→f(x)-40彐X>0 x∈(-∞,-X∪(X,+∞) 8<f(x)<A+e September. 2004

September, 2004    0   − − + x X X ( , ) ( , )  −   + A f x A   ( )   X 0 换一种说法： lim ( ) means x f x A →  =        −    0, 0 , : ( ) X x x X f x A

>0,丑X>0,Vx:>X→f(x)-A<E 极限limf(x)=A的几何解释 y=f(x) y=A+8 ………………-……: A A September. 2004

September, 2004 极限 的几何解释 A y f x = ( )A+ A− X y A = +  y A = −        −    0, 0 , : ( ) X x x X f x A −X lim ( ) x f x A → =

若limf(x)=A 则水平直线y=A为曲线y=x)的一条 水平渐近线。 y=f(x) A+ y=A+8 A A September. 2004

September, 2004 lim ( ) x f x A → = A y f x = ( )A+ A− X y A = +  y A = − −X 若 则水平直线 y = A 为曲线 y = f(x) 的一条 水平渐近线

若limf(x)=A 则函数y=fx)在某个集合{x|wX}上有界。 p38,题9 VE>0彐X>0 x∈(-∞,-X∪(X,+∞) →A-E<f(x)<A+E y=f(x) A+8 A-8 September. 2004

September, 2004 lim ( ) x f x A → 若 = 则函数 y = f(x) 在某个集合{ x | |x|>X } 上有界。 p.38, 题9 A y f x = ( )A+ A− X y A = +  y A = − −X    0   − − + x X X ( , ) ( , )  −   + A f x A   ( )   X 0

例7证明极限:、、=0 x→0 自学 September. 2004

September, 2004 例7 证明极限： 1 lim 0 x→ x = 自学

例证明极限:lm1 x→>x+ 分析: VE>0要 我们要分析|>? x+12x1-1所以只要|-1> 或|x|>1+=X September. 2004

September, 2004 例 证明极限： 1 lim ? x 1 x → x − = + 分析：    0 要 1 1 1 x x − − +  只要 2  x +1  2 x 1 = + 1 我们要分析 x  ? x x +  − 1 1 2 x 1  −  2 x 1   + 所以只要 或 = X

要 1+=X 证明>03X=1+使得,当 >X时,就有 X <E所以lim x+1 x→0 x+1 September. 2004

September, 2004 要 1 1 1 x x − − +  只要 2 x 1 = + 2 x 1   + 证明    0 = X 2 X 1   = + 使得，当 x X  时，就有 1 1 1 x x − − +  所以 1 lim 1 x 1 x → x − = +

X =1VE>0彐X=1+ x→∞x+1 0.1 21 0.01 201 0.001 2001 0.000345883.35 0.00000728571529 September. 2004

September, 2004    0 2 X 1   = + 1 lim 1 x 1 x → x − = +  X 0.1 21 0.01 201 0.00034 5883.35 0.000007 285715.29 0.001 2001 ......