《函数与极限》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.6）极限存在准则 两个重要极限（2/2）

16(2)两个重要极限

October, 2004 1.6 (2) 两个重要极限

两个重要极限 1.重要极限m x→>0x SIn x f(x) 是偶函数 lim 是型 x→>0x 0 x->0x October 2004

October, 2004 二、两个重要极限 1. 重要极限 0 sin lim x x → x sin ( ) x f x x = 是偶函数 0 sin lim x x → x 是 型 0 0 0 sin lim ? x x → x =

1.5 y 1.2 0/b0 864 0.2 -0.2 -0 00 468 October 2004

October, 2004 sin x y x =

sIn x f( 02 0.4 It seems that I x→>0x October 2004

October, 2004 sin ( ) x f x x = 0 sin lim 1 x x → x It seems that =

因为x→0,设x满足 0<x|< 首先假定 0<x< 2 October 2004

October, 2004 因为 x →0, 设 x 满足 0 2 x    首先假定 0 2 x   

作图 由图形可知 x是弧度 △OB面积<扇形AOB面积<△AOD面积 △AOB面积=-sinx 2 B 扇形AOB面积 X tan x 2兀 sinX △AOD面积=-tanx October 2004

October, 2004 作图     AOB AOB AOD 面积 扇形 面积 面积 由图形可知 1 sin 2  = AOB x 面积 2 1 2 x AOB   扇形 面积 =   1 tan 2  = AOD x 面积 O 1 A B x D 1 1 sin x tan x 2 x = x 是弧度

△AOB面积<扇形AOB面积<△AOD面积 △AOB面积=-sinx扇形AOB面积 △AOD面积=-tanx 2 因此 tanx SIn X sinx<-<-tan x A 或 sinx<x< tanx (0<x< 2 October 2004

October, 2004 因此 1 1 sin tan 2 2 2 x x x   或 sin tan x x x   (0 ) 2 x        AOB AOB AOD 面积 扇形 面积 面 积 1 sin 2  = AOB x 面积 2x 扇形AOB面积 = 1 tan 2  = AOD x 面积 O 1 A B x D 1 1 sin x tan x

sinx<x< tanx (0<x<) sinrsrx sinx 1< < sInr cosx Sinx COSX< <1(0<x<-) 现在设 Sin(-x 于是cos(-x)< < <x<0 仍有 则0<-x< COSx<-<1 xX October 2004

October, 2004 sin tan x x x   (0 ) 2 x    sin sin cos x x x x   1 1 sin cos x x x   sin cos 1 x x x   (0 ) 2 x    0 2 x  −   现在设 则 0 2 x   −  于是 sin( ) cos( ) 1 x x x− −   − sin cos 1 x x x   仍有

得到 我们已经成功地将 sinx/x 夹在C0Sx和1之间 cosx0 由夹逼定理,我们得到极限: liman=1 x→>0x October 2004

October, 2004 sin cos 1 x x x   (0 ) 2 x    得到 因为 0 limcos 1 x x → = 由夹逼定理，我们得到极限： 0 sin lim 1 x x → x = 我们已经成功地将 sinx/x 夹在 cosx 和 1 之间 图形

cosx <1 X 15 05 0.5 ac with(plots): M: =4: A: - plot(sin(x)/x,x=-M.M,y=-1.2): er.2004

October, 2004 with(plots):M:=4: A:=plot(sin(x)/x,x=-M..M,y=-1..2): sin cos x 1 x x   back