同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 行列式（1-2）全排列及其逆序数

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一 、概念的引入 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解 1 2 3 百位 1 2 3 3种放法 十位 1 2 1 3 个位 1 2 3 2种放法 1种放法 共有 3 21  6 种放法

定义

二、全排列及其逆序数 同的排法？ 问题 把 n 个不同的元素排成一列 ，共有几种不 定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个 元素的全排列（或排列）. n n 个不同的元素的所有排列的种数，通常 用 表示. n Pn 由引例 3 2 1 3 P     6. 同理 Pn  n (n  1) (n  2)  3  2 1  n!

如同 标准次序 定义

在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.   t s n i i i i i 1 2 t s i  i 例如 排列32514 中， 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 排列的逆序数 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序

定义 逆序数 1逆序数为3

定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 1 逆序数为3 0 0 1 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5

奇排列 偶排列 方法1

计算排列逆序数的方法 方法1 分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数. 1,2,,n  1,n 1,2,,n  1,n n 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 排列的奇偶性

分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 方法2 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;

3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为 t  0  1  0  3  1 5. 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;

偶排列

例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性. 1 217986354 解 2 1 7 9 8 6 3 5 4 0 1 0 0 1 3 4 4 5 t   18 此排列为偶排列. 5  4  4  3  1  0  0  1  0

(n-2)

2 nn  1n  2321 解  2  1   , 2 1  n n 当 n  4k,4k  1 时为偶排列； 当 n  4k  2,4k  3 时为奇排列. t  n  1  n  2 nn  1n  2321 n 1   n  2