同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 行列式（1-1）二阶与三阶行列式

行列式 第一节二阶与三阶行列式 二阶行列式的引人 >三三阶行列式 小结思考题 帮助四

生一、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组 「a1x1+a12x2=b,(1) a2x1+a2x2=b2(2) ()×a2:a142x1+41212x2=b2 (2)an2:+a11=b 两式相减消去x2,得 上页

用消元法解二元线性方程组    + = + = . , 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 a x a x b a x a x b (1) (2) (1) : a22 , a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 (2) : a12 , a12a21x1 + a12a22 x2 = b2a12 两式相减消去 x2，得 一、二阶行列式的引入

(a14a2-a12a2)x1=b1a2-a1b2; 类似地,消去x1,得 (a1a2-a12a2)x2=a1b2-b421, 当a1a2-a12a21≠0时,方程组的解为 x,=22-122,x,= 1b2-b1a21 (3) 22 1221 1122 2 21 由方程组的四个系数确定 上页

; （a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 类似地，消去x1，得 , （a1 1a2 2 − a1 2a2 1）x2 = a1 1b2 − b1a2 1 当 a11a22 − a12a21  0时， 方程组的解为 ， 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = . （3） 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 a a a a a b b a x − − = 由方程组的四个系数确定

定义由四个数排成二行二列(横排称行、竖排 称列)的数表 11u12 21u22 表达式a1a2-a12a21称为数表(4)所确定的二阶 行列式,并记作 12 (5) 21 22 即 D a12122-a1 12021 21L 22 上页

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表 (4) 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a 定义 (5) 4 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 a a a a a a a a 行列式，并记作 表达式 − 称为数表（ ）所确定的二阶 即 . 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D = = −

二阶行列式的计算—对角线法则 主对角线 12 =a12-12421 副对角线a12 auk +auk,=b1, 对于二元线性方程组 a2k1+a24x2=b2 c若记 D= 12 系数行列式 21 22 上页

11 a 12 a a12 a22 主对角线 副对角线 对角线法则 = a11a22 . − a12a21 二阶行列式的计算 若记 , 21 22 11 12 a a a a D =    + = + = . , 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 a x a x b a x a x b 对于二元线性方程组 系数行列式

a11*+a122=bu 211+a22x2 D 11a 12 2 上

   + = + = . , 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 a x a x b a x a x b , 21 22 11 12 a a a a D =

a21x1+a2x2=b2 D I1 21X1+a2 D

   + = + = . , 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 a x a x b a x a x b , 2 22 1 12 1 b a b a D =    + = + = . , 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 a x a x b a x a x b , 21 22 11 12 a a a a D =

11+a12x a21x1+a2x2=b2 D1 12 = 22 I1 11 +12x2 211+a 22 D,=ll 21 上

   + = + = . , 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 a x a x b a x a x b , 2 22 1 12 1 b a b a D =    + = + = . , 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 a x a x b a x a x b . 21 2 11 1 2 a b a b D =

则二元线性方程组的解为 b a12 a. b D, b 22 D x,=-2= 21 D11 a12 D a11 12 21 22 21 22 注意分母都为原方程组的系数行列式 上页

则二元线性方程组的解为 , 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 a a a a b a b a D D x = = 注意 分母都为原方程组的系数行列式. . 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 a a a a a b a b D D x = =

例1求解二元线性方程组 3x1-2x2=12 2x1+x2=1 解 3-2 D=2 =3-(-4)=7≠0, 11=14,D,=3 D、12 2 2 =-21, 21 D114 D =2,12=s-21 3. D7 D 7 上页

例 1  + = − = 2 1. 3 2 12, 1 2 1 2 x x x x 求解二元线性方程组 解 2 1 3 − 2 D = = 3 − ( − 4 ) = 7  0 , 1 1 12 2 1 − D = = 14 , 2 1 3 12 D 2 = = −21 , DD x 1  1 = 2 , 7 14 = = DD x 2 2 = 3. 7 21 = − − =