同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章矩阵的初等变换与线性方程组 习题课

第三章矩阵的初等变换 与线性方程组 习题课 仙主要内容 +y= 典型例题 想测验题 帮助四

初等变换 歌的足 曲定矩距刷更 有解测别定理 行阶梯形矩阵 方组的解 子法 矩阵的标准形

1初等变换的定义 换法变换 对调矩阵的两行列),记作rr(c分c); 倍法变换 以数k≠0乘某一行列中的所有元素记作 rz×k(c1×k) 消法变换 把某一行列所有元素的倍加到另一行列 对应的元素上去记作r+kr;(Cc;+kc) 上页

( ), r r (c c ); 对调矩阵的两行列 记 作 i  j i  j ( ); 0 ( ) , r k c k k i  i  以 数  乘某一行 列 中的所有元素 记 作 , ( ). ( ) ( ) r k r c k c k 对应的元素上去记 作 i + j i + j 把某一行 列 所有元素的 倍加到另一行列 １ 初等变换的定义 换法变换 倍法变换 消法变换

三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是 同一类型的初等变换 初等变换逆 变 换 r;分r(cc)r分r(e分c) r;×k(c×k) r×(c1× k k r:+kr (ci+kc, ri+(k)ri (ci+(k)c) 上页

初 等 变 换 逆变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换． r r (c c ) i  j i  j r r (c c ) i  j i  j r k(c k) i  i  ) 1 ( 1 k c k ri  i  r k r (c k c ) i + j i + j r ( k)r (c ( k)c ) i + − j i + − j

2矩阵的等价 如果矩阵经有限次初等变换变成阵B,就 称矩阵A与B等价,记作A~B. 反身性A~A 对称性若A~B,则B~A; 传递性若A~B,B~C,则A4~C 上页

, ~ . , A B A B A B 称矩阵 与 等 价 记 作 如果矩阵 经有限次初等变换变成矩 阵 就 反身性 传递性 对称性 A ~ A; 若A ~ B,则B ~ A; 若A ~ B,B ~ C,则A ~ C. ２ 矩阵的等价

生3初等矩阵 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称 王为初等矩阵 午三种初等变换对应着三种初等矩阵 上页

三种初等变换对应着三种初等矩阵． ３ 初等矩阵 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵． E

(1)换法变换:对调两行(列),得初等 A矩阵E(j). 王用m阶初等矩阵Em(左乘4=(a)2,相 上当于对矩阵施行第一种初等行变换把4的第 行与第行对调r;r 类似地用n阶初等矩阵En(i,)右乘矩阵A, 相当于对矩阵施行第一种初等列变换把的 生第列与第列对调c 上页

( ). : ( , ) ( ) , j r r A A i m E i j A a i j ij m m n  =  行与第 行对调 当于对矩阵 施行第一种初等行变换 把 的 第 用 阶初等矩阵 左 乘 相 （１）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵 ． ( ). : , ( , ) , i j c c A A n E i j A i j n 第 列与第 列对调  相当于对矩阵 施行第一种初等列变换 把 的 类似地 用 阶初等矩阵 右乘矩阵 E(i, j)

(2)倍法变换:以数k(非零)乘某行( 列),得初等矩阵E(i(k 以Em(i(k左乘矩阵4,相当于以数乘4的 牛第行(mxA 王以En(4)右乘矩阵4相当于以数乘4的 牛第列xk 上页

（２）倍法变换：以数 （非零）乘某行（ 列），得初等矩阵 ． ( ); ( ( )) , i r k E i k A k A i m 第 行  以 左乘矩阵 相当于以数 乘 的 ( ). ( ( )) , i c k E i k A k A i n 第 列  以 右乘矩阵 相当于以数 乘 的 k E(i(k))

(3)消法变换:以数k乘某行(列)加到另 一行(列)上去,得初等矩阵E((k) 以Em((k左乘矩阵4相当于把4的第祈乘 以加到第行上(+k方 以En(j(k)右乘矩阵A,相当于把4的第浏乘 以加到第冽上(c1+kc 上页

（３）消法变换：以数 乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵 ． ( ); ( ( )) , k i r k r E ij k A A j i j m 以 加到第 行 上 + 以 左乘矩阵 相当于把 的 第 行 乘 ( ). ( ( )) , k j c k c E ij k A A i j i n 以 加到第 列 上 + 以 右乘矩阵 相当于把 的 第 列 乘 k E(ij(k))

庄4行阶梯形矩阵 经过初等行变换,可把矩阵化为行阶梯形矩 阵,其特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全 为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的 行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行) 午后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第 一个非零元 工工工 例如 1.00 21 10 00:1-3 HUUDEBUDDDUEED 00000 上页

经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元． 例如               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 ４ 行阶梯形矩阵