同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 习题课

第六章线性空间与线性变换 习题课 仙主要内 x型例题 测验题 帮助四

线性垒悯线性巫换 维数子性定‖定性 基空 矩阵表示 质 义质 基变换 在给定基下的矩阵 坐标变换 在不同基下的矩阵

生1线性空间的定义 设V是一个非空集合,R为实数域如果对于任 意两个元素a,B∈V,总有唯一的一个元囊∈与 之对应称为a与的和记作y=a+;又对于任 庄数∈R与任一元泰a∈,总有唯一的一个元素 δ∈之对应称为与a的积记作8=aa;并且这 两种运算满足以下八条运算规律设a,B,yeV;元, ∈R): 上页

): ( , , ; , , , ; , , , ; , , , . R V V R V V V V R    =   = +                       两种运算满足以下八条运算规律 设 与之对应 称 为 与 的 积 记 作 并且这 数 与任一元素 总有唯一的一个元素 之对应 称 为 与 的 和 记 作 又对于任一 意两个元素 总有唯一的一个元素 与 设 是一个非空集合 为实数域如果对于任 １ 线性空间的定义

(1)+B=B+a; (2)(a+B)+y=a+(6+y); (3)在中存在零元素对任何a∈V都有 o+0=a; (4)对任何a∈V,都有a的负元素B∈V,使 a+B=0; 上页

0; (4) , , 0 ; (3) 0; , (2)( ) ( ); (1) ; + =   + =  + + = + + + = +                   对任何 都 有 的负元素 使 在 中存在零元素 对任何 都 有 V V V V

(5)la=a; (6)A()=(4u)a: (7)(+p)a=a+a; (8)(a+B)=2a+1B, 那么,就称为(实数域R上的)向量空间( 或线性空间),V中的元素不论其本来的性质如 何,统称为(实)向量 简言之,凡满足八条规律的加法及乘数运算, 就称为线性运算;凡定义了线性运算的集合,就 称为向量空间 上页

(8) ( ) , (7)( ) ; (6) ( ) ( ) ; (5)1 ;                 + = + + = + = = 那么， 就称为（实数域 上的）向量空间（ 或线性空间）， 中的元素不论其本来的性质如 何，统称为（实）向量． 简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算， 就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就 称为向量空间． V R V

2线性空间的性质 (1)零元素是唯一的 (2)任一元素的负元素是唯一的,a的负元素记 作-a; (3)0a=0;(-1)a=-a;10=0; (4)如果a=0,则=0或a=0 上页

(4) 0, 0 0. (3)0 0;( 1) ; 0 0; ; (2) , (1) ; = = = = − = − = −          如 果 则 或 作 任一元素的负元素是唯一 的 的负元素记 零元素是唯一的 ２ 线性空间的性质

庄3子空间 定义设V是一个线性空间,L是V的一个非空子 集,如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间,则称L为V的子空间 王定理线性空间V的非空子集L构成子空间的充分 王必要条件是:L对于中的线性运算封闭 上页

３ 子空间 定义 设 是一个线性空间， 是 的一个非空子 集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 为 的子空间． V L V V L V L 定理 线性空间 的非空子集 构成子空间的充分 必要条件是： L 对于 V 中的线性运算封闭． V L

士 生4线性空间的维数、基与坐标 定义在线性空间中如果存在n个元素 c1c2, ,an, 满足 (1)a1,a2,…,an线性无关 (2)中任一元素a总可由a1,a2,…,an线 性表示那么,a1,a2,…,an就称为线性空间的一 个基n称为线性空间的维数 王维数为n的线性空间称为维线性空间记作p 上页

, . , , , , , (2) , , , (1) , , , ; , , : , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 个 基 称为线性空间 的维数 性表示 那 么 就称为线性空间 的 一 中任一元素 总可由 线 线性无关 满 足 在线性空间 中 如果存在 个元素 n V V V V n n n n n                  定义 n n , V . 维数为 的线性空间称为 维线性空间记 作 n ４ 线性空间的维数、基与坐标

定义设a1,a2,…,cn是线性空间的一个基对于 王任—元素a∈Fn总有且仅有一组有序数,x2” En, 使 o=x1a1+x2a2+…+xnOn 王个基这组有称为元素在aa n a=(x1,x2,…,xn) 上页

定义 ( , , , ) . , , , , , , , , , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 T n n n n n n n n n x x x x x x x x x x V x x V       = = + + +               这个基下的坐标并记作 这组有序数就称为元素 在 使 任一元素 总有且仅有一组有序数 设 是线性空间 的一个基 对 于

一般地,设V与U是两个线性空间,如果在 上它们的元素之间有一一对应关系,且这个对应关 系保持线性组合的对应,那么就说线性空间V与 U同构 线性空间的结构完全被它的维数所决定 任何n维线性空间都与R同构,即维数相等 牛的线性空间都同构 上页

一般地，设 与 是两个线性空间，如果在 它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关 系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 与 同构． V U V U 线性空间的结构完全被它的维数所决定． 任何 维线性空间都与 同构，即维数相等 的线性空间都同构． R n n