《数值分析》课程教学资源（PPT课件）第九章 常微分方程数值解法

第九章常微分方程数值解法 §1、引言 阶常微分方程的初值问题: r/( x,y)a≤x≤b (O=y

第九章 常微分方程数值解法 §1 、引言 0 0 : ( , ) ( ) dy f x y a x b dx y x y  =      =  一阶常微分方程的初值问题

例:方程xy-2y=4x→y J +4 令:f(x,y)=2+4且给出初值p(D)=3 就得到一阶常微分方程的初值问题: f(x, y) +4 dx yx y(1)=-3

2 y xy 2 y 4 x y 4 x 2 y f x y 4 y 1 3 x dy 2 y f x y 4 dx x y 1 3 ' ' : - ( , ) ( ) - ( , ) ( ) =  = + = + =   = = +   = − 例 方程 令： 且给出初值 就得到一阶常微分方程的初值问题：

只要函数f(x,y)适当光滑连续,且关于y满足 Lipschitz条件,即存在常数L,使得 f(x,y)-f(x,y)≤Ly 由常微分方程理论知,初值问题的解必存在且 唯

( , ) ( , ) ( , ) f x y y Lipschitz L f x y f x y L y y −  − 只要函数 适当光滑连续，且关于 满足 条件，即存在常数 ，使得 由常微分方程理论知，初值问题的解必存在且 唯一

微分方程的数值解:设方程问题的解y(x) 的存在区间是|ab,令a=xx…<xn=b, 其中hk=kxk,如是等距节点h=(bam,h 称为步长。 y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得 到,我们用数值方法求得y(在每个节点xk 上v(x的近似值,用表示,即y(x,这 样yn,y1…称为微分方程的数值解

微分方程的数值解：设方程问题的解y(x) 的存在区间是[a,b]，令a= x0< x1<…< xn =b, 其中hk=xk+1-xk , 如是等距节点h=(b-a)/n , h 称为步长。 y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得 到，我们用数值方法求得y(x)在每个节点xk 上y(xk )的近似值，用yk表示，即yk≈y(xk )，这 样y0 , y1 ,...,yn称为微分方程的数值解

主要问题 ◆如何将微分方程离散化,并建立求 其数值解的递推公式; ◇递推公式的局部截断误差,数值解 与精确解的误差估计 ◆递推公式的稳定性与收敛性

主要问题 ❖如何将微分方程离散化，并建立求 其数值解的递推公式； ❖递推公式的局部截断误差，数值解 与精确解的误差估计； ❖递推公式的稳定性与收敛性

微分方程离散化常用方法 令用差商代替微商 令数值积分 令 Taylor展开

❖用差商代替微商 ❖数值积分 ❖Taylor展开 微分方程离散化常用方法

A·用差商代替微商 lrm1) y(in) ≈ In y f(n,y(x,) n+1 用h=x n+ sy(x),yn≈y(xn)代替 n+ f(x h n+1 +的f(xn,yn)n=0,L,2

( ) ( ) ( ) 1 , 1 A ( , ( )) n n n n n n n n dy y x y x f x y x dx x x x y + +  −  = − 用差商代替微商 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 , , , , 0, 1, 2, n n n n n n n n n n n n n n h y y f h x x y x y x y y x y y y x hf n y + + + + + = −   − = = + = 用 代替， 则

B.用数值积分方法离散化 f(x,y)x(n=0,1,…) dx 用yn1,yn代替y(xn1)y(xn),对右端积分采用 取左端点的矩形公式 f(x,y)ax≈hf(xn,yn) 则有 n+1 hf(xn,yn)(n=0,1,…)

1 1 B. : ( , ) ( 0,1, ) n n n n x x x x dydx f x y dx n dx + + = =   用数值积分方法离散化 1 1 1 1 , ( ), ( ), ( , ) ( , ) ( , ) ( 0,1, ) n n n n n n x n n x n n n n y y y x y x f x y dx h f x y y h x y f y n + + + + = =  −  用 代替 对右端积分采用 取左端点的矩形公式 则有

用 n+15n 代替y(xn-,y(xn),对右端积分采用 取右端点的矩形公式 f(x, y)dx a hf(nl, y 则有 n+1 hf(xn+1,yn+)(n=0,1,…)

1 1 1 1 1 1 1 1 , ( ), ( ), ( , ) ( , ) ( , ) ( 0,1, ) n n n n n n x n n x n n n n y y y x y x f x y dx h f x y y y hf x y n + + + +  − = =  ＋ ＋ ＋ ＋ 用 代替 对右端积分采用 取右端点的矩形公式 则有

用yn1,yn代替y(xn1)2y(xn),对右端积分采用 梯形公式 f(r,ydx s olf(n, y,)+f(rm+l, ym+) 则有 n+1 If(n, y,)+f(rn+l, n+) (n=0,1,…)

    1 1 1 1 1 1 1 1 , ( ), ( ), ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( 0,1, ) n n n n n n x n n n n x n n n n n n y y y x y x h f x y dx f x y f x y h y y f x y f x y n + + + +  + + = − =  ＋ ＋ ＋ ＋ 用 代替 对右端积分采用 梯形公式 则有