《数值分析》课程教学资源（PPT课件）第二章 插值法（2.3）逐步线性插值

§3逐步线性插值 ◆抛物插值的逐步线性插值 ☆ Aitken插值 ☆ Neville算法 ◆数值实例 ◆小结

§3 逐步线性插值 ❖抛物插值的逐步线性插值 ❖Aitken插值 ❖Neville算法 ❖数值实例 ❖小结

1抛物插值的逐步线性插值 给定如下三个数据点 逐步线性插值( Aitken插值)具体步骤如下 Stepl将(x,y)分别对x,y),(x2,y2)两点作线 性插值,得

1.抛物插值的逐步线性插值 给定如下三个数据点 逐步线性插值（Aitken插值）具体步骤如下： Step1. 将 分别对 两点作线 性插值，得 0 x 0 x 0 x 0 x 0 y y 1 y 2 y ( x y 0 0 , ) ( x y x y 1 1 2 2 , , , ) ( )

X+y1 X - P,x 02(x)=y x-x 2 0 step对(x,P0(x),(x2,Pa(x)两点作线性 插值,得 P2(x)=P1(x) X x x

step2. 对 两点作线性 插值，得( ) ( ) 1 0 01 0 1 0 1 1 0 2 0 02 0 2 0 2 2 0 x x x x P x y y x x x x x x x x P x y y x x x x − − = + − − − − = + − − ( x P x x P x 1 01 2 02 , , , ( )) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) 2 1 012 01 02 1 2 2 1 x x x x P x P x P x x x x x − − = + − −

显然1(x)插值节点(x,b)x,);2(x) 插值节点x)(x2)72(x插值节点xn,) 15 929 2.n次 Aitken插值 设给定数据表 O O

显然 插值节点 ； 插值节点 ； 插值节点 。 2. n 次 Aitken 插值 设给定数据表 P x 01 ( ) P x 012 ( ) P x 02 ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 x y x y , , , ( ) 0 0 x y, , ( ) ( ) 0 0 1 1 x y x y , , , ( x y x y 1 1 2 2 , , , ) ( ) x y x0 x1 xn y0 y1 yn

构造n次多项式,步骤如下 stepl将(x,y分别对(x,),=l…n作线 性插值,得 X-x Poi(x)=yo"l+y 0 0 step2.将(x,Po(x)分别对(x,P0(x)作线 性插值,得 X-x x Oli +p XI

构造 n次多项式，步骤如下： step1. 将 分别 对 作线 性插值，得 step2. 将 分别 对 作线 性插值，得 ( x y 0 0 , ) ( , , , , ) 1 i i x y i n = ( ) 0 0 0 0 0 , , , 1 i i i i i x x x x P x y y i n x x x x − − = + = − − ( ) 1 01 01 0 1 1 , , , 2 i i i i i x x x x P x P P i n x x x x − − = + = − − ( x P x 1 01 , ( )) ( x P x i i , 0 ( ))

sep3.将x,Pm(x)分别对(x,P0(x)作线 性插值,得 PoI2(x)=Po2 x-x trou x-x? X- 9‘sh sen对x,Pme(x)( 012·(n-2)n (x)两点 作线性插值,得 X-x X-x 012 012·(n-1) -+P 012·(n-2)n 1

step 3. 将 分别 对 作线 性插值，得 …… step n. 对 两点 作线性插值，得 ( x P x 2 012 , ( )) ( x P x i i , 01 ( )) ( ) 2 012 012 01 2 2 , , , 3 i i i i i x x x x P x P P i n x x x x − − = + = − − ( ) ( x P x n−1 , 012 1 n− ( )) ( ) ( x P x n , 012 2 n n − ( )) ( ) ( ) ( ) 1 012 012 1 012 2 1 1 n n n n n n n n n n x x x x P x P P x x x x − − − − − − − = + − −

可列表如下(以四次 Aitken插值为例 次 次 三次 四次 xy插值插值插值插值 01 02 012 v3 P 03 013 0123 4/14P 04 012401234

可列表如下(以四次Aitken插值为例）： 四次 插值 三次 插值 二次 插值 一次 插值 0 y 1 y 2 y 3 y 4 y y 0 x 3 x x 1 x 2 x 4 x P01 P02 P03 P04 P012 P013 P014 P0123 P0124 P01234

3. Neville算法 可列表如下(以四次插值为例) 次二次三次四次 IX 插值插值插值插值 01 012 12 0123 23 1234 1234 3 234 34 4 4

3. Neville算法 可列表如下(以四次插值为例）： 一次 插值 二次 插值 三次 插值 四次 插值 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x x 0 y 1 y 2 y 3 y 4 y P01 P12 P34 P 23 P012 P123 P234 P1234 P0123 P01234 y

构造n次多项式,步骤如下 stepl.分别对(x-,y)与(x,y),=l,…,n两 两作线性插值,得 0(x)=y1x”+y,i=1,…,n se.分别对(x,P(x)与(x,P()两两 作线性插值,得 X-X X-X (i-1)i 1

构造 n次多项式，步骤如下： step1. 分别对 与 两 两作线性插值，得 step2. 分别对 与 两两 作线性插值，得 ( , , , , ) 1 i i ( x y i i − − 1 1 , ) x y i n = ( ) ( ) 1 1 1 1 1 , , , 1 i i i i i i i i i i x x x x P x y y i n x x x x − − − − − − − = + = − − ( ) ( x P x i−1 , i i −1 ( )) ( ) ( x P x i , i i+1 ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , 1 1 i i i i i i i i i i i i i x x x x P x P P i n x x x x + − − + − + − + + − − − = + = − − −

stp3分别对(x,Pw-x)与(x,Pc) 两两作线性插值,得 X-X i+2 X-X (-)(+)+2)(x +p x +1)(+2) i+2 x spn对(x,Pm)(x,P2)两点线性插值, XX-xX P02(x)=P 012…(n +p no -X

step3. 分别对 与 两两作线性插值，得 …… step n. 对 两点 线性插值， ( ) ( ) ( x P x i−1 , i i i − + 1 1 ( )) ( x P i+2 , i i i ( + + 1 2 )( ) ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 , , , 1 2 i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x P x P P i n x x x x + − − + + − + + + − + + − − − = + = − − − ( x P 0 , 01 1 (n− ) ) ( x P n n , 12 ) ( ) ( ) 0 012 12 012 1 0 0 n n n n n n x x x x P x P P x x x x − − − = + − −