北京邮电大学：《复变函数》课程教学资源（讲义）第三章 复变函数的积分

第三章复变函数的积分 October 18. 2006

1nÙ EC¼êÈ© October 18, 2006 1/127

主要内容 复变函数积分的概念,性质和计算方

̇SN 1. EC¼êÈ©Vg, 5ŸÚOŽ{. 2. EC¼êÈ©­‡úª ——– …Üi½n, E Ü4´½n, …ÜÈ©úª. 3. )Û¼êÚNÚ¼ê'X. 2/127

主要内容 1.复变函数积分的概念,性质和计算方法. 2.复变函数积分的重要公式 柯西古萨定理,复 合闭路定理,柯西积分公式 3.解析函数和调和函数的关系 口22 2/127

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主要内容 1.复变函数积分的概念,性质和计算方法 2.复变函数积分的重要公式 柯西古萨定理,复 合闭路定理,柯西积分公式 解析画数和调和画数的关

̇SN 1. EC¼êÈ©Vg, 5ŸÚOŽ{. 2. EC¼êÈ©­‡úª ——– …Üi½n, E Ü4´½n, …ÜÈ©úª. 3. )Û¼êÚNÚ¼ê'X. 2/127

主要内容 1.复变函数积分的概念，性质和计算方法 2.复变函数积分的重要公式—柯西古萨定理，复 合闭路定理，柯西积分公式 3.解析函数和调和函数的关系. 2/127

̇SN 1. EC¼êÈ©Vg, 5ŸÚOŽ{. 2. EC¼êÈ©­‡úª ——– …Üi½n, E Ü4´½n, …ÜÈ©úª. 3. )Û¼êÚNÚ¼ê'X. 2/127

第一节复变函数积分的概念 1.积分的定义 有向曲线 设C为平面上给定 光滑(定分段光滑)曲线 果选 从A到B的方向作为C的正方向,那么从B 到A的方向就是C的负方向,记为

1! EC¼êÈ©Vg 1. È©½Â • k•­‚  C Ǒ²¡þ‰½^1w (½©ã1w) ­‚, X JÀ½ C ü‡ŒU•¥‡ŠǑ•, o ¡ C ´k•­‚. XJrl A  B •ŠǑ C •, ol B  A •Ò´ C K•, PǑ C −. A B 3/127

第一节复变函数积分的概念 1.积分的定义 有向曲线 设C为平面上给定的一条光滑(或分段光滑)曲线,系 果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向,那么 称C路有向曲线 系果把从A到B的方向作为C的正方向,那么从B 到A的方向就路C的负方向,记为C

1! EC¼êÈ©Vg 1. È©½Â • k•­‚  C Ǒ²¡þ‰½^1w (½©ã1w) ­‚, X JÀ½ C ü‡ŒU•¥‡ŠǑ•, o ¡ C ´k•­‚. XJrl A  B •ŠǑ C •, ol B  A •Ò´ C K•, PǑ C −. A B 3/127

定义设函数=f(x)定义在区域D内,C为在区 域D内起点为A终点为B的一条第滑的有向曲线,把曲 线C任意分成n个弧段,设分点为 4 ZK-1 ZB 每

½Â ¼ê w = f(z) ½Â3« D S,C Ǒ3«  D Så:Ǒ A ª:Ǒ B ^1wk•­‚, r­ ‚ C ?¿©¤ n ‡lã, ©:Ǒ A = z0, z1, z2, · · · , zk−1, zk, · · · , zn = B, A B ζ 1 ζ 2 z 1 z 2 z 3 z k−1 z k ζ k y x O D ζ 3 3z‡lã z\k−1zk(k = 1, 2, · · · , n) þ?¿: ζk, ¿ ŠÚª Sn = X n k=1 f(ζk)(zk − zk−1) = X n k=1 f(ζk)△zk. 4/127

定义设函数=f(x)定义在区域D内,C为在区 域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线,把曲 线C任意分成n个弧段,设分点为 4 0,21,22, ZK-1 ZB D 在每个弧段k-1k(k=1,2,…,m)上任意取一点(k,并 作和式 Sn=∑f()(k-2-1)=∑f(△ k=1

½Â ¼ê w = f(z) ½Â3« D S,C Ǒ3«  D Så:Ǒ A ª:Ǒ B ^1wk•­‚, r­ ‚ C ?¿©¤ n ‡lã, ©:Ǒ A = z0, z1, z2, · · · , zk−1, zk, · · · , zn = B, A B ζ 1 ζ 2 z 1 z 2 z 3 z k−1 z k ζ k y x O D ζ 3 3z‡lã z\k−1zk(k = 1, 2, · · · , n) þ?¿: ζk, ¿ ŠÚª Sn = X n k=1 f(ζk)(zk − zk−1) = X n k=1 f(ζk)△zk. 4/127

记△Sk=k-12k的长度,6=max{△sk} f(=)d=lim)f(c)△

P △sk = z\k−1zk Ý, δ = max 16k6n {△sk}. XJ δ ªu"ž, XJØé C ©{9 ζk {X Û,Sn k4, o¡ù4ŠǑ¼ê f(z) ÷­ ‚ C È©, PŠ Z C f(z)dz = lim n→∞ X n k=1 f(ζk)△zk. 5/127