《数值分析》课程教学资源（PPT课件）第二章 插值法（2.7）有理函数插值

§7有理菡数插值 ◆研究有理插值问题的理论背景 ◆有理函数插值的基本概念 有理插值问题的提出 研究的向问题 有理插值的存在性 ◆连分式插值 令连分式插值在图像处理中的应用

§7 有理函数插值 ❖研究有理插值问题的理论背景 ❖有理函数插值的基本概念 有理插值问题的提出 研究的问题 有理插值的存在性 ❖连分式插值 ❖连分式插值在图像处理中的应用

1研宄有理插值间题的理论背景 前面讨论了用多项式逼近函数,它是一种 计算简便的逼近工具,但当函数f(x在某点 x0附近无界,或者当x→>而f(x)趋于某 一定值时,采用多项式插值是不恰当的 这是因为多项式不能反映在某点x附近无 界的函数性态,而当x→>∞时,多项式的 值总是趋于无穷,但有理分式函数,如 (4x+B)/(x-x)却能刻划这些函数性态

1.研究有理插值问题的理论背景 前面讨论了用多项式逼近函数，它是一种 计算简便的逼近工具，但当函数 在某点 附近无界，或者当 而 趋于某 一定值时，采用多项式插值是不恰当的， 这是因为多项式不能反映在某点 附近无 界的函数性态，而当 时，多项式的 值总是趋于无穷，但有理分式函数，如 ( Ax B x x + − ) ( 0 ) 却能刻划这些函数性态。 x →  f x( ) 0 x f x( ) 0 x x → 

2.有理函数插值 21问题的提出 设给定(x)在m+n+1个互异节点x (=01…m+)上的值f(x),所谓有理函数插 值问题,即寻求有理分式函数 (x)∑ R(x =0 (x)∑ (21 使之满足条件Rn(x)=f(x),=0,1…,m+n

2.有理函数插值 2.1 问题的提出 设给定 在m+n+1个互异节点 上的值 ，所谓有理函数插 值问题，即寻求有理分式函数 使之满足条件 f x( ) i x f x( i ) (i m n = + 0,1, , ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 m k m k k m n n k n k k P x a x R x Q x b x = = = =   , ( ) ( ), 0,1, , . R x f x i m n m n i i = = + (2.1)

22研究的间题 Rm(x)表面上有m+n+2个待定参数a1b, 但实际上只有m+n+1个待定参数,故从插 值条件(21)可得关于系数的m+n+1个方 程组。下面必须研究三个问题 1)解的存在及唯一性; 2)如何构造有理插值函数 3)误差估计问题

2.2 研究的问题 表面上有m+n+2个待定参数 ， ， 但实际上只有m+n+1个待定参数，故从插 值条件（2.1）可得关于系数的m+n+1个方 程组。下面必须研究三个问题： 1) 解的存在及唯一性； 2) 如何构造有理插值函数； 3) 误差估计问题。 R x nm ( ) a i bi

23有理分式菡数的基撬念 设有两个分式函数 R(x)= (x).R2(x)=Q(x) Q,(x) 若存在一个非零常数a,使得 P(x)=aP2(x),2(x)=a@2(x) 则称R(x)邬(x)恒等,记为R(x)=R2(x) 若(x)Q(x)=P(x)Q1(x),则称它们是等价的, 记为R(x)~R2(x)(以后均视为同一函数)

2.3 有理分式函数的基本概念 设有两个分式函数 若存在一个非零常数a ，使得 则称 与 恒等，记为 . 若 则称它们是等价的， 记为 （以后均视为同一函数）. ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , P x R x Q x = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , P x R x Q x = P x aP x Q x aQ x 1 2 1 2 ( ) = = ( ), , ( ) ( ) P x Q x P x Q x 1 2 2 1 ( ) ( ) = ( ) ( ), R x 1 ( ) R x 2 ( ) R x R x 1 2 ( )  ( ) R x R x 1 2 ( ) ( )

有理插值问題的不一定总是存在的。 例给定型值点(-1)、(3)(2,3),求形如 a +ax R1(x) 6+bx 的有理插值。 解由插值条件a+a4x-f(x)(b+bx)=0 (=02),易求得a=3a1=3b,b=b, 取b=1,则得4=41=3b=b=1,于是

有理插值问题的不一定总是存在的。 例1. 给定型值点 ，求形如 的有理插值。 解 由插值条件 ，易求得 取 则得 于是 (−1,1 , 1,3 , 2,3 ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1,1 0 1 a a x R x b b x + = + 0 1 0 1 ( )( ) 0 i i i a a x f x b b x + − + = (i = 0,1, 2) 0 1 1 1 0 1 a b a b b b = = = 3 , 3 , , 1 b =1, 0 1 0 1 a a b b = = = = 3, 1

R1(x) 3+3x 1+x 显然当x≠-时,有R1(x)=R1(x)=3,而 R1(x)与1(x)是值为3的同一函数的两种 不同表现形式。在几何上当x≠-1时R1(x) 是一条平行于x轴的直线,它不可能通过 型值点(-,1),故它不是(2.1)的解。因 此,满足插值条件(2.1)的R1(x)是不存 在的

显然当 时，有 ，而 与 是值为3 的同一函数的两种 不同表现形式。在几何上当 时， 是一条平行于x 轴的直线，它不可能通过 型值点 ，故它不是（2.1）的解。因 此，满足插值条件（2.1） 的 是不存 在的。 1,1 ( ) 3 3 1 x R x x + = + x  −1 R x R x 1,1 1,1 ( ) = = ( ) 3 R x 1,1 ( ) R x 1,1 ( ) R x 1,1 ( ) x  −1 R x 1,1 ( ) (−1,1)

定理1插值问题(21)若有解,则其解 必唯一。 证明:设有两个有理函数 P P R(x= R.(x mm.n (( 均满足插值条件(21),即 P ,j=0,12…,m+n

定理1 插值问题（2.1）若有解，则其解 必唯一。 证明：设有两个有理函数 均满足插值条件(2.1),即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , m n m n P x P x R x R x Q x Q x = = ( ) ( ) ( ) ( ) , 0,1, , , j j j j P x P x j m n Q x Q x = = +

白此可推出 P(x)(x)=P(x)Q(x),=0,1…m+n 表明次数不超过m+n的多项式 P(2(x)-p(x)o(x) 有1+m+n个互异零点。由代数基本定理, 知 P(x)Q(x)-P(x)Q(x)=0, 由等价性定义知Rmn(x)~Rn(x)

由此可推出 表明次数不超过m+n的多项式 有1+m+n 个互异零点。由代数基本定理， 知 由等价性定义知 ( ) ( ) ( ) ( ), 0,1, , , P x Q x P x Q x j m n j j j j = = + P x Q x P x Q x ( j ) ( ) − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, P x Q x P x Q x j −  , , ( ) ( ). R x R x m n m n

24有理插值的存在性 定理2若(2.1)对应的齐次线性方程组 Pm(x)f(x)9(x)=0.0=01,…m+n,(2 有非平凡解存在,为使满足插值条件(21) 的最简有理分式R(x)=P(x)(x)存在,必 须且只须方程组(24)的任意非平凡解 p(x,Q(x)在约去一切公因子后得到的互质 多项式4(x),B(x)仍是方程组(24)的解

2.4 有理插值的存在性 定理2 若（2.1）对应的齐次线性方程组 有非平凡解存在，为使满足插值条件（2.1） 的最简有理分式 存在，必 须且只须方程组（2.4）的任意非平凡解 在约去一切公因子后得到的互质 多项式 仍是方程组（2.4）的解。 P x f x Q x j m n m j j n j ( ) − = = + ( ) ( ) 0, 0,1, , , 2.4 ( ) R x P x Q x m n, ( ) = ( ) ( ) P x Q x ( ), ( ) A x B x ( ), ( )