《数值分析》课程教学资源（PPT课件）第二章 插值法（2.1-2.2）引言、拉格朗日插值公式

第二章插值法 ◆51引言 令§2拉格朗日插值公式 令§3逐步线性插值 令54牛顿( Newton)插值 令§5埃尔米特( Hermite)插值 令§6有理函数插值

第二章 插 值 法 ❖§1 引言 ❖§2 拉格朗日插值公式 ❖§3 逐步线性插值 ❖§4 牛顿 (Newton) 插值 ❖§5 埃尔米特 (Hermite) 插值 ❖§6 有理函数插值

§1引言 4发展历史 应用 插值问题的提出 4插值问题所需研究的问题

§1 引 言 发展历史 应用 插值问题的提出 插值问题所需研究的问题

发展历史 等距节点内插公式刘焯(隋公元544-610年) 不等距节点内插公式张遂(唐公元683-727年) 等距节点一般插值公式 Newton& Gregory(17世纪 非等距节点一般插值公式从 Lagrange(18世纪)

等距节点内插公式 刘焯（隋 公元544－610年） 不等距节点内插公式 张遂（唐 公元683－727年） 等距节点一般插值公式 Newton & Gregory (17世纪） 非等距节点一般插值公式 J.L.Lagrange (18世纪） 发展历史

应用 ◆对观测数据的处理 ◆函数的近似表示 令曲线曲面拟合 令导出其它数值方法的依据(如数值积分、 数值微分、微分方程数值解等)

应 用 ❖对观测数据的处理 ❖函数的近似表示 ❖曲线曲面拟合 ❖导出其它数值方法的依据（如数值积分、 数值微分、微分方程数值解等）

以近似计算函数值为例来说明 例:设在实际问题中,某些变量之间的函 数关系是存在的,但通常不能用式子表示, 只能由实验、观测得到y=f(x)在一系列离 散点上的函数值,即已知函数表 x yo ≠x:;l≠

以近似计算函数值为例来说明 散点上的函数值，即已知函数表 例：设在实际问题中，某些变量之间的函 数关系是存在的，但通常不能用式子表示， 只能由实验、观测得到 y f x = ( ) 在一系列离 x y x0 1 xn x y0 y1 yn ( x x i j i j   , )

如何计算(x)(x≠x,=,…,n)?我们希望 寻求一个简单目易于计算的函数P(x)来近 似∫(x),即∫(x)≈P(x)一般P(x)可选为多 多项式、三角多项式、有理函数或样条函数 等。 有些函数虽有表达式,但较复杂,计算函数 值不经济,这时也希望用简单的函数来逼近

如何计算 f x( ) ( x x i n  = i , , , , 0 1 ) ？我们希望 寻求一个简单且易于计算的函数 P x( ) 来近 似 f x( ) ，即 f x P x ( )  ( ) ，一般 P x( ) 可选为多 多项式、三角多项式、有理函数或样条函数 等。 有些函数虽有表达式，但较复杂，计算函数 值不经济，这时也希望用简单的函数来逼近

插值问题的提出 已知函数y=f(x)在区间[a,6上有 定义,且已知y=∫(x1),(i=0,1,,n) 其中a≤x<x<…<x≤b,求一个多 项式y=P(x),使其满足P(x)=y;(i=0,-,n) 即要求该多项式的函数曲线要经过y=f(x) 上已知的这n+1个点(xn),(x,),(xn

插值问题的提出 已知函数 y f x = ( ) 在区间 上有 a x x x b      0 1 n ，求一个多 y f x i n i i = = ( ), 0,1, , ( ) a b,  定义，且已知 ， 其中 项式 y P x = ( ) ,使其满足 P x y i i ( ) = (i 0 1 n = , , , ) 即要求该多项式的函数曲线要经过 y f x = ( ) 上已知的这n+1个点 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 n n x y x y x y , , , , , ,

同时在其它点x∈[a,b上估计误差为 R(x)=∫(x)-P(x) f(x) p(x

同时在其它点 x a b  ,  上估计误差为 R x f x P x ( ) ( ) ( ) = − Y p x( ) f x( ) 0 x 1 x n 1 x − n x 2 x 0 y 1 y 2 y n 1 y − n y X

研宠问题 满足插值条件的多项式P(x)是否存在 唯一? 若满足条件的P(x)存在,又如何构造? 用P(x)近似代替f(x)的误差估计?

研究问题 若满足条件的 P x n ( ) 存在，又如何构造？ ( ) 满足插值条件的多项式 P x n 是否存在， 唯一？ ( ) P x n 用 近似代替 f x( ) 的误差估计？

§2拉格朗日插值 令插值多顶式的存在唯一性 拉格朗日插值多项式 插值基函数 插值基函数的构造 n次拉格朗日型插值多项式 ◇截断误差 数值实例 令拉格朗日插值多顶式的优缺点

§2 拉格朗日插值 ❖插值多项式的存在唯一性 ❖拉格朗日插值多项式 插值基函数 插值基函数的构造 n次拉格朗日型插值多项式 ❖截断误差 ❖数值实例 ❖拉格朗日插值多项式的优缺点