同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 向量组的线性相关性（4-4）向量空间

向量组的线性相装性 第四节向量空间 向量空间的概 >二、子空间 向量空间的基与维数 >四、小结思考题 帮助四

、向量空间的概念 定义1设V为n维向量的集合,如果集合非空, 王且集合对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称 集合v为向量空间 说明 工工工 1.集合V对于加法及乘数两种运算封闭指 若a∈V,B∈V,则a+B∈V; 若a∈V,∈R,则Aa∈V. 2.n维向量的集合是一个向量空间,记作R 圆[t 上页

说明 若 V,  R, 则  V. 2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作 . n R 若 V, V, 则 +  V; 一、向量空间的概念 定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． n V V V V 1．集合 V 对于加法及乘数两种运算封闭指

例13维向量的全体R,是一个向量空间 因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量,数 λ乘3维向量仍然是3维向量,它们都属于R3 类似地,n维向量的全体R",也是一个向量空 间. 上页

3 , . 例1 维向量的全体R 3 是一个向量空间 3 3 . 3 3 , 3 乘 维向量仍然是 维向量，它们都属于R 因为任意两个 维向量之和仍然是 维向量 数  . 间 类似地，n维向量的全体R n，也是一个向量空

例2判别下列集合是否为向量空间. v1={x=(0 925 25 ∈R n 解V是向量空 三间. 因为对于v1的任意两个元素 a=(0,an2…,an),B=(0,b2,…,bn)∈V1, 有a+B=(0,a2+b2…,an+bn)∈V (0,a c=(, 299 an)y∈V1 上页

例2 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 1 = = 0, 2 ,  , n 2 ,  ,  解 V 是向量空间 . 1 因为对于V1的任意两个元素 ( ) ( ) T n T  = 0,a2 ,  ,an ,  = 0,b2 ,  ,b V ,  1 ( ) 2 2 1 0,a b , ,a b V T 有  +  = +  n + n  (0, , , ) . a2 a V1 T  =    n 

例3判别下列集合是否为向量空间. V2={x=(1 9~2 x2…,Xn∈R 解V不是向量空间 因为若a=(1, 9299 ∈V2 则2a=(2,2a2,…,2an)gV2 上页

例3 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 2 = = 1, 2 ,  , n 2 ,  ,  解 2 (2,2 , ,2 ) . a2 a V2 T 则  =  n  V 不是向量空间 . 2 (1, , , ) , 2 V2 a a T 因为若 =  n 

例4设a,b为两个已知的n维向量,集合 {x=M+pb,p∈R 试判断集合是否为向量空间 解V是一个向量空间因为若x1=41a+14 b x2=A2a+p2b,则有 工工工 1+x2=(1+2)a+(1+2)b∈V, kx1=(kA1)a+(k1)b∈V 这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空 间 上页

例 4 设a,b为两个已知的n维向量，集合 V = x = a + b,  R 试判断集合是否为向量空间. 解 V是一个向量空间.因为若x1 = 1a + 1b x2 = 2a +  2b， 则有 ( ) ( ) , x1 + x2 = 1 + 2 a + 1 +  2 b V ( ) ( ) . kx1 = k1 a + k1 bV . , 间 这个向量空间称为由向量a b所生成的向量空

般地,由向量组a1,a2,…,an所生成的向量空 间为 王v==.+.++11,…,知∈8 例设向量组a1,…,mn与向量组b,,b等价, 记 工工工 v={x=λ1a1+12a2+…+nOmA21 9295 .∈R v2={x=p1b1+u2b2+…+p1b,p1,p2,…p∈R} 试证:V1=V 上页

V x a a a R = = 1 1 + 2 2 ++  m m 1 ,2 ,  , m  间 一般地， 由向量组a1 ,a2 ,,am所生成的向量空 为     . , , , , , , , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 V V V x b b b R V x a a a R a a b b s s s m m m m s = = = + + +  = = + + +  试证： 记 设向量组 与向量组 等价，                 例 5  

证设x∈V则可由a1,…,an线性表示 庄因,m可由,b线性表示,故可由, b线性表示,所以x∈V2 这就是说,若x∈V1,则x∈V2 午因此hc2 工工工 类似地可证:若x∈V2,则x∈V1, 因此v2cV1 因为VcV2,V2cV1,所以V=V2, 上页

, , . 证 设xV1，则x可由a1  am线性表示 : , , 类似地可证 若x V2 则x V1 . 因为V1  V2，V2  V1，所以V1 = V2 线性表示， 因 可由 线性表示，故 可由 s m s b a , ,a b , ,b x b , , 1  1  1  . 所以x V2 这就是说，若x V1，则x V2， . 因此V1  V2 . 因此V2  V1

二、子空间 定义2设有向量空间V及V,若向量空间12, 就说V是V2的子空间 实例 设V是由n维向量所组成的向量空间, 显然VcR 所以总是R"的子空间 上页

定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间 ， 就说 是 的子空间． V1  V2 V1 V1 V2 V2 实例 V R n 显然  所以V总是R 的子空间. n 二、子空间 设 V 是由 n 维向量所组成的向量空间

庄三、向量空间的基与维数 定义3设V是向量空间,如果r个向量 29 ,ar∈且满足 (1)a1,a2…,a,线性无关 (2)中任一向量都可由x1,ax2,…,a,线性表示 那末,向量组a,a2,…,,就称为向量V的一个 c基,厂称为向量空间v的维数,并称为r维向量 空间 上页

(1) , , , ; 1  2   r线性无关 (2) , , , . V中任一向量都可由1  2   r线性表示 那末，向量组 1 , 2 ,  , r 就称为向量 V 的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间． r V V r 三、向量空间的基与维数 定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 r , , V 1  2  , r V