同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 线性空间与线性变换（6-4）线性变换

线性实间与线性变换 第四节线性变换 > 线性变换的概念 >二、线性变换的性质 >三、小结思考题 帮助四

王一、线性变换的概念 1.映射 线性空间中向量之间的联系,是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的. 牛定义设有两个非空集合4如果对于中任一 元素a,按照一定规则总有B中一个确定的元素 和它对应那么,这个对应规则称为从集4到集合 B的变换(或映射,记作 王B=r(a)或=raa∈A 上页

线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的． １．映射 一、线性变换的概念 ( ) ,( ). ( ), , , , , 1 , , T T A B A B A B A  =   =      或 的变换 或映射 记 作 和它对应 那 么 这个对应规则称为从集合 到集合 元 素 按照一定规则总 有 中一个确定的元素 定 义 设有两个非空集合 如果对于 中任一

设a∈A,T(a)=B,就说变换7把元素a变为 王称为在变换了下的象a称为在变换了下的源 A称为变换7的源集象的全体所构成的集合称为 象集记作T(A),即 T(4)={B=Ta)a∈A 显然T(A)cB. 变换的概念是函数概念的推广 上页

T(A) =  = T()  A, 变换的概念是函数概念的推广． 象 集 记 作 即 称为变换 的源集 象的全体所构成的集合称 为 称 为 在变换 下的象 称 为 在变换 下的源 设 就说变换 把元素 变 为 , ( ), , , . , ( ) , , T A A T T T A T T        =    显然T(A)  B

2.从线性空间到Un的线性变换 定义2设Jn,Um分别是实数域上的n维和m维线 性空间T是一个从Vn到Um的变换如果变换满足 (1)任给a1a2∈Vn,有 T(x1+a2)=T(a1)+T(ax2 (2)任给a∈Vn,k∈R都有T(ka)=kT(a) 那么就称T为从V到Um的线性变换 上页

( ) ( ) ( ); (1) , , 1 2 1 2 1 2       T T T Vn + = + 任给  有 (2)  V ,k R, T(k) kT(). 任给  n  都有 = 那么,就称 为从 到 的线性变换. T Vn Um 性空间 是一个从 到 的变换 如果变换 满 足 定 义 设 分别是实数域上的 维 和 维 线 T V U T V U n m n m n m , , 2 , 2．从线性空间 V n 到 U m 的线性变换

说明 (1)线性变换就是保持线性组合的对应的变换 (2)一般用黑体大写字母T,A,B,…代表线性 变换,r(a减或Ta代表元素a在变换T下的象 上页

, ( ) . (2) , , , 变换 或 代表元素 在变换 下的象 一般用黑体大写字母 代表线性 T T T T A B     说明 (1)线性变换就是保持线性组合的对应的变换

3.从线性空间Vn到其自身的线性变换 如果Um=Vn,那么T是一个从线性空间n到其 自身的线性变换称为线性空间n中的线性变换 下面主要讨论线性空间Vn中的线性变换. 上页

, . , 自身的线性变换 称为线性空间 中的线性变换 如 果 那 么 是一个从线性空间 到 其 V U V T V n m = n n ３．从线性空间 V n 到其自身的线性变换 下面主要讨论线性空间 V n 中的线性变换．

例1在线性空间Pxl3中, (1)微分运算D是一个线性变换 eT V P=a3x+a2x+aix+oE P[x13, D=3a3x2+2a2x+a1, 9=b3x+62x+bix+boE Plx Dg=3b3x+2b2x+b1, 从而D(p+q) =D(a3+b3)x3+(a2+b2)x2+(a1+b1)x+(a0+b0 =3(a3+b)x2+2(a2+b2)x+(a1+b1) =(3a3x2+2a2x+a1)+(3b3x2+2b2x+b) Dp + DqE 上页

[ ] , 例 1 在线性空间P x 3中 (1) 微分运算D是一个线性变换. [ ] , 1 0 3 2 2 3  p = a3 x + a x + a x + a  P x 3 2 , 2 1 2 Dp = a3 x + a x + a [ ] , 1 0 3 2 2 3 q = b3 x + b x + b x + b  P x 3 2 , 2 1 2 Dq = b3 x + b x + b [( ) ( ) ( ) ( )] 1 1 0 0 2 2 2 3 = D a3 + b3 x + a + b x + a + b x + a + b 从而 D( p + q) 3( ) 2( ) ( ) 2 2 1 1 2 = a3 + b3 x + a + b x + a + b (3 2 ) (3 2 ) 2 1 2 2 1 3 2 = a3 x + a x + a + b x + b x + b = Dp + Dq;

D(kp)=D(ka3x'+ka2x+kajx+k ao =k(3a3x2+2a2x+a1) =kDp (2)如果T(p)=a0,那么T也是一个线性变换 T(p+q)=a0+b0=T(p)+T(q); T(p)=kao=kT(p) 上页

( ) ( ) 1 0 2 2 3 D kp = D k a3 x + k a x + k a x + k a (3 2 ) 2 1 2 = k a3 x + a x + a = kDp. (2) ( ) , . 如果T p = a0 那么T也是一个线性变换 ( ) ( ) ( ); T p + q = a0 + b0 = T p + T q ( ) ( ). T kp = k a0 = kT p

(3)如果T1(p)=1那么T1是个变换,但不是线 性变换. T1(p+q)=1, 但 T1(p)+T1(q)=1+1=2, 所以 T1(p+q)≠T1(p)+T1(q) 上页

. (3) ( ) 1, , 1 1 性变换 如果T p = 那么T 是个变换 但不是线 ( ) 1, T1 p + q = ( ) ( ) 1 1 2, 但 T1 p +T1 q = + = ( ) ( ) ( ). 所以 T1 p + q  T1 p + T1 q

例2由关系式 x cosp -sinp(x y( Sin C0sφ人y 确定xOy平面上的一个变换T,说明T的几何意义 x=rcos e 解记(=rm,于是 xcosp-ysin p y)(xsin p+ y cos o rcos 8 cosp-rsin 0 sinp(rcos(0+) rcos sin p +rsin 0 cos p(rsin(0+o) 圆回 上页

, . sin cos cos sin 确定 平面上的一个变换 说明 的几何意义 由关系式 xOy T T y x y x T             −  =          例 2 解    = = sin , cos ,   y r x r 记 于是       y x T       + − =     sin cos cos sin x y x y       + − =         cos sin sin cos cos cos sin sin r r r r , sin( ) cos( )       + + =     r r