同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 线性空间与线性变换（6-5）线性变换的矩阵表示式

线性实间与线性变换 第五节线性变换的矩阵表示式 > 线性变换的矩阵表示 >二、线性变换在给定基下的矩阵 >三、线性变换在不同基下的矩阵 >四、小结思考题 帮助四

庄-、线性变换的矩阵表示式 设n阶矩阵 1112 al 21L22 a2n 01,02,,an, anl (n2 m ali 其中a;=|“,定义R中的变换y=(x)为 n 上页

一、线性变换的矩阵表示式 设n阶矩阵 ( , , , ), 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1    n n n nn n n a a a a a a a a a A        =               = 其中 ,定义 中的变换 ( )为 2 1 R y T x a a a n ni i i i =               =  

T(x)=Ax,(x∈R")则T为线性变换 设e1,e2,…,en为单位坐标向量,那么 1112∴1n 0 ael 2122∴∴2n = -a1, an1 (n2 a1a12…a1nY0 U2122 2n 0 Aen= ang an1 (n2 m 上页

T(x) Ax,(x R ), n =  则T为线性变换. 设e1 ,e2 ,  ,en为单位坐标向量,那么, 0 0 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 =                             =        a a a a a a a a a Ae n n nn n n , 1 0 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1  n n n nn n n n a a a a a a a a a Ae =                             =        

即 ali =Aet=T(e)(i=1,2,,n) 因此,如果一个线性变换7有关系式T(x)=Ax, 那么矩阵4应以T(e;)为列向量 反之,如果一个线性变换T使T(e;)=c;(i=1,2, n),那么 T(x=T(er,er, .,enx =T(x1e1+x2e2+…+xnen xi(es+x2T(e2)+.+xnt(em =(T(e1)2T(e2),,T(en)x la1,a2,,amx=Ax 上页

Ae T(e ) (i 1,2, ,n) 即  i = i = i =  ( ) . , ( ) , 那么矩阵 应以 为列向量 因此 如果一个线性变换 有关系式 A T e T T x Ax i = 那么 反之 如果一个线性变换 使 , ), , ( ) ( 1,2, n T T e i i i  = = T( x) [( , , , ) ] = T e1 e2  en x ( ) = T x1 e1 + x2 e2 ++ xn en ( ) ( ) ( ) = x1T e1 + x2T e2 ++ xnT en = (T(e1 ),T(e2 ), ,T(en ))x = (1 , 2 ,  , n )x = Ax

综上所述可知 R中任何线性变换T,都可用关系式 T(x)=Ax(x∈R") A表示其中A=(r(),T(e2),…,r(e) 1112 in 21U22 观2n anI (n2 e1,e2,…,en为.单位坐标向量 上页

表 示 其 中 中任何线性变换 都可用关系式 , ( ) ( ) , T x Ax x R R T n n =  ( ( ), ( ), , ( )) A = T e1 T e2  T en , 1 2 21 22 2 11 12 1               = a a a a a a a a a n n nn n n       , , , . e1 e2  en为单位坐标向量 综上所述,可知

生二、线性变换在给定基下的矩阵 定义1设T是线性空间V中的线性变换,在Vn 中取定一个基a1,a2,…,an,如果这个基在变换T 下的象为 T(a,=auai+a2a,+.+aman, T(a2)=a12x1+a202 ……+an2 n n5 T(am)=a,a,+a,n,++arm,a 上页

( ) ( )  ( )       = + + + = + + + = + + + , , , 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 n n n nn n n n n n T a a a T a a a T a a a                 二、线性变换在给定基下的矩阵 定义１ 设 是线性空间 中的线性变换，在 中取定一个基 ，如果这个基在变换 下的象为 Vn Vn    n , , , 1 2  T T

生记a1,,)((7(b,a)上式 可表示为 T(x1,a2…,an)=(a1,a2,…,an)A 12 n 其中 4= 21 22 2n n2 n 那末,A就称为线性变换T在基1,C2,,On下的 矩阵 上页

其中 , 1 2 21 22 2 11 12 1               = n n nn n n a a a a a a a a a A        T(1 , 2 ,  , n ) = (1 , 2 ,  , n )A 记T(1 , 2 ,  , n ) = (T(1 ),T( 2 ),  ,T( n )), 上式 可表示为 那末， 就称为线性变换 在基 下的 矩阵． n A T 1 , 2 ,  ,

显然矩阵4由基的象T(a1…,T(an)唯一确定 现在,假设4是线性变换T在基a1,a2,…,an下 的矩阵也就是说基a1;a2,…,an在变换T下的象为 T(a1,c2,…,cn)=(a1,a2,…,an)4 那么,变换T需要满足什么条件呢? 上页

, ( ), , ( ) . 显然 矩阵A由基的象T 1  T  n 唯一确定 , ? ( , , , ) ( , , , ) , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 那么 变换 需要满足什么条件呢 的矩阵 也就是说基 在变换 下的象为 现在 假设 是线性变换 在基 下 T T A T A T n n n n                 =

Va∈Vn,设a=∑x;a;,有 T T ∑: ∑ rila l: 1 1 T(aD, T(a2),,,,T(am) (x0….42x410)= 上

,设 ,有 1    i n i  V n =  xi = T() ( ) 1  i n i = T  xi = =  = n i xiT i 1 ( )               = x x x T T T n n   2 1 1 2 ( ( ), ( ), , ( )) ( , , , ) , 2 1 1 2               = x x x A n n     

即 1 r|(a1a2,,anx21=(a1a2“,an)42 en 上式唯一地确定了一个变换T,并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换 以4为矩阵的线性变换由上式唯一确定 上页

( , , , ) ( , , , ) . 2 1 1 2 2 1 1 2             =                         x x x A x x x T n n n n           即 . , 变换 是以 为矩阵的线性变换 上式唯一地确定了一个变换 并且所确定的 T A T 以A为矩阵的线性变换T由上式唯一确定