同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 相似矩陈及二次型（5-7）正定二次型

相矩及三次型 第七节正定二次型 惯性定理 二、正(负)定二次型的概念 正(负)定二次型的判别 >四、小结思考题 帮助四

生一、惯性定理 个实二次型,既可以通过正交变换化为标 准形,也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然,其标准形一般来说是不唯一的,但标准形 中所含有的项数是确定的,项数等于二次型的秩. 工工工 下面我们限定所用的变换为实变换,来研究 中二次型的标准形所具有的性质 上页

一、惯性定理 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．

庄定理(惯性定理设有实二次到=x4,它的秩 为r,有两个实的可逆变换 x=C及x= 小使∫=42+k2+…+k,y2(1≠0 及f=1x+2x+…+,x(11≠0 则k1,…,k,中正数的个数与1,…,1,中正数的个数 相等 上页

( ) ( ) . , , , , 0 , 0 , , 1( ) , 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 相 等 则 中正数的个数与 中正数的个数 及 使 及 为 有两个实的可逆变换 定 理 惯性定理 设有实二次型 它的秩       r r r r i r r i T k k f z z z f k y k y k y k x Cy x Pz r f x Ax     = + + +  = + + +  = = =

生三、正(负定二次型的概念 定义1设有实二次型∫(x)=xAx,如果对任何 王x≠都有/(x)>0显然0)=0则称/为正定二 次型,并称对称矩阵是正定的如果对任何≠0 牛都有(x)<0则称/为负定二次型并称对称矩阵 A是负定的 牛例如∫=x2+4y2+162为正定二次型 ∫=-x1-3x2 为负定二次型 王页下

2 2 2 f = x + 4 y + 16z 为正定二次型 2 2 2 f = −x1 − 3x 为负定二次型 二、正(负)定二次型的概念 ( ) ( ( ) ) . ( ) 0, , , ; 0 0, 0 0 0 , 1 ( ) , 是负定的 都 有 则 称 为负定二次型 并称对称矩阵 次 型 并称对称矩阵 是正定的 如果对任何 都 有 显 然 则 称 为正定二 定 义 设有实二次型 如果对任何 A f x f A x x f x f f f x x Ax T     = = 例如

生三、正(负定二次型的判别 定理2实二次型=xAx为正定的充分必要条 王件是:它的标准形的个系数全为正 证明设可逆变换x=O使 f(x)=f(ay)=∑ky2 工工工 充分性 设k≥>0(=1,…,n)任给x≠0, 上则y=C 故f(x)=∑k,y2>0 上页

证明 设可逆变换x = Cy使 ( ) ( ) . 2 1 i n i i f x f Cy k y = = = 充分性 k 0 (i 1, ,n). 设 i =  任给 x  0, y = C x  0, 则 -1 故 ( ) 0. 2 1 =   = i n i i f x k y 三、正(负)定二次型的判别 : . 2 件 是 它的标准形的 个系数全为正 定 理 实二次型 为正定的充分必要条 n f x Ax T =

必要性 假设有k,≤0,则当=e、(单位坐标向量时, f(Ce,)=k。≤0 显然Ce≠0,这与∫为正定相矛盾 故k1>0(i=1,…,n) 推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A 的特征值全为正 上页

必要性  0, 假设有ks 则当 (单位坐标向量)时, s y = e ( ) =  0. Ces ks f  0, 显然Ces 这与 f 为正定相矛盾. 故 k 0(i 1, ,n). i  =  推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正． A A

定理3对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A 的各阶主子式为正,即 1 >0. 12 >0 >0: 21 22 n 对称矩阵A为负定的充分必要条件是:奇数阶主 子式为负,而偶数阶主子式为正,即 (-1 >0,(r=1,2,…,n) 这个定理称为霍尔维茨定理 上页

0, a11  0, 21 22 11 12  a a a a  , 0; 1 11 1  n nn n a a a a     ( 1) 0, ( 1,2, , ). 1 1 1 1 r n a a a a r rr r r      −  = 这个定理称为霍尔维茨定理． 定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即 A A 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 A

上正定矩阵具有以下一些简单性质 1设4为正定实对称阵则A,A,A均为正 定矩阵 2若A,B均为n阶正定矩阵则A+B也是正定 矩阵 上页

正定矩阵具有以下一些简单性质 ; 1. , A , , T 1 定矩阵 设A为正定实对称阵则 A − A 均为正 . 2. , , 矩 阵 若A B均 为n阶正定矩阵 则A+ B也是正定

例1判别二次型 f(x1,x2,x3)=5x2+x2+5x3+4x1x2-8x1x3-4x2x3 是否正定 52 解∫(x,x2x)矩阵为2 4-2 425 它的顺序主子式 52-4 52 工工 5>0, =1>0,21-2|=1>0, 21 4-25 故上述二次型是正定的 上页

例1 判别二次型 ( ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 5x + x + 5x + 4x x − 8x x − 4x x 是否正定. 解 f (x1 , x2 , x3 )的矩阵为 , 4 2 5 2 1 2 5 2 4           − − − − 它的顺序主子式 5  0, 1 0, 2 1 5 2  =       1 0, 4 2 5 2 1 2 5 2 4 =            − − − − 故上述二次型是正定的

例2判别二次型 f( ~23 2x2+4x2+5 x2-4x1x3 斗F是否正定 解用特征值判别法 20-2 次型的矩阵为A=040 205 令E-A=0→1=1,12=4,43=6 即知A是正定矩阵,故此二次型为正定二次型 上页

例2 判别二次型 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 f x1 , x2 , x3 = 2x1 + 4x + 5x − 4x x 是否正定. 解 二次型的矩阵为 , 2 0 5 0 4 0 2 0 2           − − A = 用特征值判别法. 令 E − A = 0 1, 4, 6.  1 = 2 = 3 = 即知 A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型