《函数与极限》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.5）极限的运算法则 Limit Laws

15极限的运算法则 Limit laws

October, 2004 1.5 极限的运算法则 Limit Laws

无穷小的性质 定理1有限个无穷小的和也是无穷小。 lima=0 and limB=0= lim(a+B)=0 证设lima(x)=0limB(x)=0 x→> x->x0 欲证lim[a(x)+B(x)]=0 x-X October 2004

October, 2004 一、无穷小的性质 定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小。 lim 0 and lim 0   = =  lim( ) 0   + = 证 设 0 lim ( ) 0 x x  x → = 0 lim ( ) 0 x x  x → = 欲证 0 lim[ ( ) ( )] 0 x x   x x → + =

VE>0要a(x)+B(x)< 只要a(x)+B(x)≤a(x)+|B(x)<E 或 C(x)< 6(x)< a(x)<→36(x)<→彐6 彐δ=min{8,O2 0<x-x0<6→(x)+(x)<E October 2004

October, 2004    0 要    ( ) ( ) x x +  只要   ( ) ( ) x x +  +   ( ) ( ) x x  或 ( ) 2 x    ( ) 2 x    ( ) 2 x     1  ( ) 2 x     1  min{ , } 1 2  =    0 0  −  x x      ( ) ( ) x x + 

问题:无限多个无穷小也是无穷小吗? 答:一般不是 反例? lim-=0是无穷小 n→00 但++…+=1冷0不是无穷小 October 2004

October, 2004 问题：无限多个无穷小也是无穷小吗？ 答：一般不是 反例？ 1 lim 0 n→ n = 1 1 1 ... n n n + + + n个 = 1→0 1 n 是无穷小 但 不是无穷小

定理2有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。 f(x)≤ M lima=0→if(x)x=0 证设lima(x)=0 x→>x0 f(x)≤M(0x0 October 2004

October, 2004 定理 2 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。 lim 0  =  lim ( ) 0 f x  = 证 设 f x M ( )  0 lim ( ) 0 x x  x → = 欲证 0 lim ( ) ( ) 0 x x f x x  → = 0 1 (0 )  −  x x  f x M ( ) 

vE>0要|(x(x)<a 只要|f(x)a(x)=|f(x)|a(x)≤Ma(x)k<E 或|a(x) (0<x-x0<a M a(x)<→382 彐δ=min{8,O2 0<x-x<6→f(x)a(x)< October 2004

October, 2004    0 要 f x x ( ) ( )    只要 f x x ( ) ( )   或 ( ) x M    ( ) x M     2  min{ , } 1 2  =    0 0  −  x x   f x x ( ) ( )    = f x x ( ) ( )   M x ( ) 0 1 (0 )  −  x x 

例计算极限 lim x→>0 解1mx=0x是无穷小 x->0 又sin-≤1函数sn(1)有界 X 有界函数与无穷小 所以 lim xsin-=0的乘积是无穷小 0 注意:极限 lim sin-不存在 X October 2004

October, 2004 例 计算极限 0 1 lim sin x x → x 解 0 lim x x → = 0 x 是无穷小 1 sin x 又  1 函数 sin(1/x) 有界 所以 0 1 lim sin x x → x = 0 有界函数与无穷小 的乘积是无穷小 注意：极限 0 1 limsin x→ x 不存在

lim sin-不存在 limxsin -=0 x→>0 X 08 0.6 608 .4 A:=p1ot(x*sin(1/x),x=-1..1,y= 0.5..1. 1, thickness=2, style=line October 2004

October, 2004 0 1 lim 0 sin x x → x = with(plots): A:=plot(x*sin(1/x),x=-1..1,y=- 0.5..1.1,thickness=2,style=line): B:=plot({x,-x},x=-1..1,y=-0.5..1.1,color=blue,thickness=2): 0 1 limsin x→ x 不存在

定理2有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。 推论1常数与无穷小的乘积也是无穷小。 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小。 October 2004

October, 2004 定理 2 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。 推论 1 常数与无穷小的乘积也是无穷小。 推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小

问:无穷大是否有类似的性质? 以下命题成立? (1)两个无穷大的和也是无穷大 (2)两个无穷大的积也是无穷大 答: (1)是错的;反例? (2)成立,证明? October 2004

October, 2004 问: 无穷大是否有类似的性质？ (1) 两个无穷大的和也是无穷大 以下命题成立？ (2) 两个无穷大的积也是无穷大 答： (1) 是错的； 反例？ (2) 成立，证明？