高等数学《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第七章 多元函数微分法及其应用

生一、多元函数的概念 (1)邻域 设P(x0,y0)是xy平面上的一个点,孑是某 正数,与点P0(x0,y)距离小于δ的点P(x,y) 的全体,称为点P0的δ邻域,记为U(P0,), U(P0,6)={P|PK8} 0 王=kx,y)、x-x}+(-y)<} 反回

设 ( , ) 0 0 0 P x y 是xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 ( , ) 0 0 0 P x y 距离小于 的点P(x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为 ( , ) U P0  ， （1）邻域 P0 ( , )  U P0   P | PP0 |   ( , ) | ( ) ( ) . 2 0 2  x y x  x0  y  y   一 、多元函数的概念 

2)区域 (2 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 王一个点如果存在点P的某一邻域U(P)E 则称P为E的内点E的内点属于E 如果点集E的点都是内点, 中则称E为开集 上例如,E1={x,)<x2+y2<4 即为开集 E 反回

（2）区域 . ( ) 则称 为 的内点 一个点．如果存在点 的某一邻域 ， 设 是平面上的一个点集， 是平面上的 P E P U P E E P  E 的内点属于 E . E 则称 为开集. P 如果点集 的点都是内点， E E {( , )1 4} 2 2 例如，E1  x y  x  y  即为开集．

如果点P的任一个邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点(点P本身可以属于E,也 可以不属于E),则称P为E的边界点 上E的边界点的全体称为E的边界 P 设D是开集.如果对于D内 任何两点,都可用折线连结起来, E 且该折线上的点都属于D,则称 牛开集D是连通的 反回

可以不属于 ），则称 为 的边界点． 也有不属于 的点（点 本身可以属于 ，也 如果点 的任一个邻域内既有属 于 的点， E P E E P E P E E P E 的边界点的全体称为 E 的边界． 开集 是连通的． 且该折线上的点都属于 ，则称 任何两点，都可用折线 连结起来， 设 是开集．如果对于 内 D D D D  

连通的开集称为区域或开区域 J 平例如,{x,y)1x2+y2<4 开区域连同它的边界一起称为团区域:ty 例如,{(x,y)1≤x2+y2≤4} 反回

连通的开集称为区域或开区域． {( , ) | 1 4}. 2 2 例如， x y  x  y  x y o 开区域连同它的边界一起称为闭区域. {( , ) | 1 4}. 2 2 例如， x y  x  y  x y o

对于点集E如果存在正数K,使一切点 P∈E与某一定点A间的距离AP不超过K, 即AP≤K 对一切P∈E成立,则称E为有界点集,否 则称为无界点集.例如, (x,y)1≤x2+y2≤4} 有界闭区域 {(x,y)|x+y>0} 无界开区域 反回

{( x, y)| x  y  0} 有界闭区域； 无界开区域． x y o 则称为无界点集． 例如， 对一切 成立，则称 为有界点集，否 即 与某一定点 间的距离 不超过 ， 对于点集 如果存在正数 ，使一切点 P E E AP K P E A AP K E K    {( , )|1 4} 2 2 x y  x  y 

(3)聚点 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 个点,如果点P的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集E,则称P为E的聚点 说明: e内点一定是聚点; 士 ③边界点可能是聚点; 例{(x,y)10<x2+y2≤} (0,0)既是边界点也是聚点 反回

（3）聚点 设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点.  内点一定是聚点；  边界点可能是聚点； {( , )| 0 1} 2 2 例 x y  x  y  (0,0)既是边界点也是聚点．

点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E 例如,{(x,y)|0<x2+y2≤1} (0,0)是聚点但不属于集合 例如,(x,y)|x2+y2=1} 边界上的点都是聚点也都属于集合 反回

 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． {( , )| 0 1} 2 2 例如, x y  x  y  (0,0) 是聚点但不属于集合． {( , )| 1} 2 2 例如, x y x  y  边界上的点都是聚点也都属于集合．

(4)n维空间 设n为取定的一个自然数,我们称n元数组 (x1,x23…,xn)的全体为n维空间,而每个n元数 组(x1,x2,…,xn)称为n维空间中的一个点,数 x称为该点的第i个坐标 说明: 士 en维空间的记号为R en维空间中两点间距离公式 反回

（4）n维空间 设n为取定的一个自然数，我们称n元数组 ( , , , ) x1 x2  xn 的全体为n维空间，而每个n元数 组( , , , ) x1 x2  xn 称为n维空间中的一个点，数 xi 称为该点的第i个坐标.  n维空间的记号为 ; n R  n维空间中两点间距离公式

设两点为P(x1,x2,…,xn),Q(y1,y2…,yn), PQ=√(n1-x)2+(y2-x2)2+…+(Vn-xn)2 特殊地当n=1,2,3时,便为数轴、平面、 空间两点间的距离. 士 ③n维空间中邻域、区域等概念 邻域:U(P0,δ)={P|PPk,P∈R"} 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义 反回

( , , , ), 1 2 n P x x  x ( , , , ), 1 2 n Q y y  y | | ( ) ( ) ( ) . 2 2 2 2 2 1 1 n n PQ  y  x  y  x  y  x  n维空间中邻域、区域等概念   n U(P0 , )  P | PP0 |  ,P  R 特殊地当 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． n  1, 2, 3 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义． 邻域： 设两点为

生(s)三元函数的定义 设D是平面上的一个点集,如果对于每个点 P(x,y)∈D,变量z按照一定的法则总有确定的 值和它对应,则称z是变量x,y的二元函数,记为 z=f(x,y)(或记为z=∫(P)) 类似地可定义三元及三元以上函数 士 当n≥2时,n元函数统称为多元函数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念 反回

设D是平面上的一个点集，如果对于每个点 P(x, y) D，变量z 按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称z是变量x, y的二元函数，记为 z  f (x, y)（或记为z  f (P)）. （5）二元函数的定义 当n  2时，n元函数统称为多元函数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念. 类似地可定义三元及三元以上函数．