《函数与极限》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.3）函数的极限 Limits of Functions（1/2）

1.3函数的极限 Limits of functions

September, 2004 1.3 函数的极限 Limits of Functions

、函数极限的定义 1.自变量趋于有限值时函数的极限 lim f(x)=A x->I September. 2004

September, 2004 一、函数极限的定义 1. 自变量趋于有限值时函数的极限 0 lim ( ) x x f x A → =

定义1(极限limf(x)=A定义) x-X imf(x)=A是指: x-Xo VE>0彐>0使得当 00.38>0 x:0<x-x0<→f(x)-A<E September. 2004

September, 2004 定义 1 （极限 0 lim ( ) x x f x A → = 定义） 使得当 0 lim ( ) x x f x A → = 是指：    0    0 0 0  −  x x  时，就有 f x A ( ) −   成立 0 0, 0 x x x f x A : 0 ( )           −   −  或

VE>0.38>0 Wx:00彐δ>0 x∈(x0-d,x0)∪(x,x0+) →A-E<f(x)<A+E September. 2004

September, 2004 0 0, 0 x x x f x A : 0 ( )           −   −     0 0 0 0 0   − + x x x x x ( , ) ( , )    −   + A f x A   ( )    0 换一种说法： 0 lim ( ) x x f x A → =

lim f(x)=A x→)X VE>0.38>0 Vx:0<x-xo<8=f(x)-A<8 问题:这个极限是否存在以及极限值是否与 函数fx)在x处的函数值x有关? 答:无关。 见《学习指导》p14,问114 September. 2004

September, 2004 0 lim ( ) x x f x A → = 问题：这个极限是否存在以及极限值是否与 函数 f(x) 在 x0 处的函数值f(x0 ) 有关？ 答：无关。 见《学习指导》p.14，问1.14 0 0, 0 x x x f x A : 0 ( )           −   − 

y=f(x) y=f(x limf(x)存在 limf(x)存在 x→x fx0)也有定义 但是f(x0)无定义 但是lmf(x)≠f(x0) September. 2004

September, 2004 0 x A y f x = ( ) 0 lim ( ) x x f x → 存在 但是 f(x 0 ) 无定义 0 lim ( ) x x f x → f(x 0 ) 也有定义 但是 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → 0 x A y f x = ( ) 0 f x( ) 存在

vE>03>0Vx∈(x-8,x)∪(x0,x0+O) →A-E<f(x)<A+E 极限的几何解释 y=f( =A+8 A+8 A-8 y=d-c +6 September. 2004

September, 2004    0 0 0 0 0   − + x x x x x ( , ) ( , )    −   + A f x A   ( )    0 极限的几何解释 0 x A y f x = ( ) A+ A− 0 x − 0 x + y A = +  y A = −

极限的几何解释 y=f() A+8 A-8f x-6x0x+6 δ取决于一般,E越小,δ也越小。 September. 2004

September, 2004 极限的几何解释 0 x A y f x = ( ) A+ A− 0 x − 0 x + δ 取决于ε 一般, ε 越小, δ 也越小

例3证明极限:lim(2x-1)=1 x→)1 分析:f(x)-1=(2x-1)-1=2x-2=2x-1 vE>0要|f(x)-1=2x-10彐δ 使得当0<x-1<δ 时,就有f(x)-1<E所以im(2x-1)=1 September. 2004

September, 2004 例3 证明极限： 1 lim(2 1) 1 x x → − = 分析： f x( ) 1− = − − (2 1) 1 x = − 2 2 x = − 2 1 x    0 要 f x x ( ) 1 2 1 − = −  只要 2  x −1  =  证明：    0 2   =  使得当 0  x −  1  时，就有 f x( ) 1−  1 lim(2 1) 1 x x → 所以 − =

极限limf(x)=A直观的定义 y=f() September. 2004

September, 2004 极限 0 lim ( ) x x f x A → = 直观的定义 0 x A y f x = ( )