《计量经济学》多元线性回归模型的统计检验 Statistical Test of Multiple Linear Regression Model

524多元线性回归模型的统计检验 Statistical Test of Multiple Linear Regression Model 、拟合优度检验 二、方程显著性检验 、变量显著性检验

§2.4 多元线性回归模型的统计检验 Statistical Test of Multiple Linear Regression Model 一、拟合优度检验 二、方程显著性检验 三、变量显著性检验

说明 由计量经济模型的数理统计理论要求的 以多元线性模型为例 将参数估计量和预测值的区间检验单独 列为一节,在一些教科书中也将它们放 在统计检验中 包含拟合优度检验、总体显著性检验、 变量显著性检验、偏回归系数约束检验、 模型对时间或截面个体的稳定性检验等

说 明 • 由计量经济模型的数理统计理论要求的 • 以多元线性模型为例 • 将参数估计量和预测值的区间检验单独 列为一节，在一些教科书中也将它们放 在统计检验中 • 包含拟合优度检验、总体显著性检验、 变量显著性检验、偏回归系数约束检验、 模型对时间或截面个体的稳定性检验等

拟合优度检验 Testing the Simulation Leve

一、拟合优度检验 Testing the Simulation Level

1、概念 检验模型对样本观测值的拟合程度 通过构造一个可以表征拟合程度的统计量来实现。 问题:采用普通最小二乘估计方法,已经保证了 模型最好地拟合了样本观测值,为什么还要检验 拟合程度? 答案:选择合适的估计方法所保证的最好拟合, 是同一个问题内部的比较;拟合优度检验结果所 表示的优劣是不同问题之间的比较

1、概念 • 检验模型对样本观测值的拟合程度。 • 通过构造一个可以表征拟合程度的统计量来实现。 • 问题：采用普通最小二乘估计方法，已经保证了 模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验 拟合程度？ • 答案：选择合适的估计方法所保证的最好拟合， 是同一个问题内部的比较；拟合优度检验结果所 表示的优劣是不同问题之间的比较

10 10 5 0 0 02 681012 024681012

0 5 10 15 20 25 0 2 4 6 8 10 12 X Y1 0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 10 12 X Y2

Dependent Variable: Y1 Method: Least Squares Date:03/04/03Time:02:30 Sample: 1 10 Included observations: 10 Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob 2.7333330.6747994.0505900.0037 2.0484850.10875418.836000.0000 R-squared 0.977949 Mean dependent var 14.00000 Adjusted R-squared 0.975193 S.D. dependent var 6.271629 S.E. of regression 0.987804 akaike info criterion 2.990192 Sum squared resid 7.806061 Schwarz criterion 3.050709 Log likelihood 1295096 F-statistic 354.7950 Durbin-Watson stat 3.449139 Prob (F-statistic) 0.000000

Dependent Variable: Y1 Method: Least Squares Date: 03/04/03 Time: 02:30 Sample: 1 10 Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.733333 0.674799 4.050590 0.0037 X 2.048485 0.108754 18.83600 0.0000 R-squared 0.977949 Mean dependent var 14.00000 Adjusted R-squared 0.975193 S.D. dependent var 6.271629 S.E. of regression 0.987804 Akaike info criterion 2.990192 Sum squared resid 7.806061 Schwarz criterion 3.050709 Log likelihood -12.95096 F-statistic 354.7950 Durbin-Watson stat 3.449139 Prob(F-statistic) 0.000000

Dependent Variable: Y2 Method Least Squares Date:03/04/03Time:02:36 Sample: 1 10 Included observations 10 Variable Coefficient Std Error t-statistic Prob 2.4666671.3495981.8277050.1050 2.0969700.2175079.6409130.0000 R-squared 0.920751 Mean dependent var 14.00000 Adjusted R-squared 0.910844 S.D. dependent var 6.616478 S.E. of regression 1.975609 Akaike info criterion 4376487 Sum squared resid 31.22424 Schwarz criterion 4.437004 Log likelihood -19.88243 F-statistic 92.94720 Durbin-Watson stat 3.4491 39 Prob(F-statistic) 0.000011

Dependent Variable: Y2 Method: Least Squares Date: 03/04/03 Time: 02:36 Sample: 1 10 Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.466667 1.349598 1.827705 0.1050 X 2.096970 0.217507 9.640913 0.0000 R-squared 0.920751 Mean dependent var 14.00000 Adjusted R-squared 0.910844 S.D. dependent var 6.616478 S.E. of regression 1.975609 Akaike info criterion 4.376487 Sum squared resid 31.22424 Schwarz criterion 4.437004 Log likelihood -19.88243 F-statistic 92.94720 Durbin-Watson stat 3.449139 Prob(F-statistic) 0.000011

2、总体平方和、残差平方和和回归平方和 定义 TSS=∑(y2-y)2 ESS=Σ(v-y) RSS=Σ(y2-y) TSS为总体平方和( Total Sum of Squares),反 映样本观测值总体离差的大小;ESS为回归平方和 ( Explained Sum of Squares),反映由模型中 解释变量所解释的那部分离差的大小;RSS为残差 平方和( Residual Sum of Squares),反映样本 观测值与估计值偏离的大小,也是模型中解释变 量未解释的那部分离差的大小

2、总体平方和、残差平方和和回归平方和 • 定义 • TSS为总体平方和（Total Sum of Squares），反 映样本观测值总体离差的大小；ESS为回归平方和 （Explained Sum of Squares），反映由模型中 解释变量所解释的那部分离差的大小；RSS为残差 平方和（Residual Sum of Squares），反映样本 观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变 量未解释的那部分离差的大小。 TSS y y ESS y y RSS y y i i i i = − = − = −    ( ) (  ) (  ) 2 2 2

既然ESS反映样本观测值与估计值偏离的大小,可 否直接用它作为拟合优度检验的统计量? 不行 统计量必须是相对量 TSS、ESS、RSS之间的关系 TSS=RSS+ESS

• 既然ESS反映样本观测值与估计值偏离的大小，可 否直接用它作为拟合优度检验的统计量？ 不行 统计量必须是相对量 • TSS、ESS、RSS之间的关系 TSS=RSS+ESS

3、一个有趣的现象 (y2-y)=(y-j)+(-y) (y-y)2≠(y1-y)2+(y1-y) ∑(y-y)2=X(7-)2+X(-y 矛盾吗?可能吗?

3、一个有趣的现象 • 矛盾吗？可能吗？ ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) i i i i i y − y = y − y + y − y 2 2 2 ( y y) ( y y ˆ ) ( y ˆ y)  i − =  i − i +  i − 2 2 2 ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) i i i i i y − y  y − y + y − y