山东理工大学：《数字信号处理》课程教学课件（讲稿）第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计（2/4）

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1线性相位FR数字滤波器的条件和特点 7.2利用窗函数法设计FR滤波器 7.3利用频率采样法设计FR滤波器 7.4利用等波纹最佳逼近法设计FR滤波器 7.5R和FR数字滤波器的比较 Back

第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.2窗函数法设计数字滤波器 7.2.1窗函数法设计原理 一、1 设计思想 Ha(e) 2元 →h(n) 逼近 h(n)=ha(n)@(n) 断 H(ej) n N-1 H(ei)=>h(n)e-jcon

H (e ) j d  h (n) d h(n) h (n) (n) = d  7.2.1窗函数法设计原理 H(e ) j   −     = H (e )e d 2 1 h (n) j j n d d 截 断 逼 近 一、设计思想 j n N 1 n 0 j H(e ) h(n)e −  − =  =  7.2窗函数法设计数字滤波器 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 h (n)

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 例如： 设计一个FR低通filter,.其理想频响为： H(e)= eJoa,lo≤0 (7.2.1) 0,0。<0≤π 相应的单位取样响应h:(n)为 sin(@(n-a)) h(n)= (7.2.2) 2π π(n-a) 为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将 h.(n)截取一段，并保证截取的一段对N-1)/2对称。 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3)

相应的单位取样响应hd (n)为 , ( ) 0, j a j c d c e H e        −   =     (7.2.1) 1 sin( ( )) ( ) 2 ( ) c c j a j n c d n a h n e e d n a         − − − − = = −  (7.2.2) h(n)=hd (n)RN(n) (7.2.3) 例如：设计一个FIR低通filter,其理想频响为： 为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将 hd (n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 实际的滤波器单位取样响应为h(n),长度为N,其系统函数为H(z), h (n) (N-) 2 a) N k(n)=ka(n)Rx(n) Y- (c） H(e)= h(n)z" n=0 图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗

实际的滤波器单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)， 图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗 1 0 ( ) ( ) N n n H z h n z − − = =  第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 0.8 0.6 0.2 60 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0/π 0/元 (a)幅频响应函数曲线 (b)损耗函数曲线 图7.2.2吉普斯效应 吉布斯(Gibbs).效应：用一个有限长的序列h(m去代替h(m),肯 定会引起误差，表现在频域就是引起过渡带加宽以及通带和阻带内 的波动，尤其使阻带的衰减小，从而满足不了技术上的要求。这种 吉布斯效应是由于将h()直接截断引起的，也称为截断效应

第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 吉布斯（Gibbs）效应：用一个有限长的序列h(n)去代替hd (n)，肯 定会引起误差，表现在频域就是引起过渡带加宽以及通带和阻带内 的波动，尤其使阻带的衰减小，从而满足不了技术上的要求。这种 吉布斯效应是由于将hd (n)直接截断引起的，也称为截断效应

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 傅氏级数法： H(e)是一个以2π为周期的函数，可以展为傅里叶级数，即 Haeo)-∑a() n=-0 傅里叶级数的系数为ha(n)。 设计FIR滤波器就是根据要求找到N个傅里叶级数系数h(m),n=1, 2,·,N一1，以N项傅氏级数去近似代替无限项傅氏级数，这样在 些频率不连续点附近会引起较大误差，这种误差就是截断效应。 显然，选取傅氏级数的项数愈多，引起的误差就愈小，但 项数增多即()长度增加，也使成本和滤波计算量加大，应在满 足技术要求的条件下，尽量减小h(n的长度

Hd (ejω)是一个以2π为周期的函数，可以展为傅里叶级数，即 傅里叶级数的系数为hd (n)。 设计FIR滤波器就是根据要求找到N个傅里叶级数系数h(n)，n=1, 2, . , N－1，以N项傅氏级数去近似代替无限项傅氏级数，这样在 一些频率不连续点附近会引起较大误差，这种误差就是截断效应。   =− − = n n H h n  j d j d (e ) ( )e 傅氏级数法： 显然，选取傅氏级数的项数愈多，引起的误差就愈小，但 项数增多即h(n)长度增加，也使成本和滤波计算量加大，应在满 足技术要求的条件下，尽量减小h(n)的长度。 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 窗函数对频响的影响 .h(n)=ha(n)w(n) He)=2an,e*wxe) e)云e N-1 Wn(eo)=∑Wr(n)ei=】 n=0 -2π/N -e j(N-1)@sin(@N sin(@/ WRg(@)= sin(@N/2) X= sin(@/2) 2

二、窗函数对频响的影响 h(n) h (n)w(n)  = d − −  =         H e H e W e d j R j d j ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1          j R g j ( ) j j R ( )e sin( / ) sin( / ) e ( ) ( )e e − − − − = − − = − = = =  =  W N W e W n N N n n N n j n R 2 1 2 2 1 1 0 1 0 ( ) jw d H e 2 1  =  H(e ) j ( ) j WR e 2 1 sin( / 2) sin( / 2) Rg ( ) − = = N N W     ， 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 0

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 Ha(e)=Ha(O)e-ioa H(@) 按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的 H(0)-Lloso. 0,0。<ol≤π -0 0 将H.(ejo)和W(ejo)代入(7.2.4)式，得到： He)=2」，H,(Oye-m-ea-d6 HO(-0d0 H(eo）=H(o)eoa H,(o)=,H,0We（o-0)d0 2元

( ) ( ) − = j j a H e H e d d    按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd (ω)为 1, ( ) 0,    =      c d c H       将Hd (e jω)和WR(e jω)代入(7.2.4)式，得到： ( ) g g 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 − − − − − − = − = −   j j a j a d R j a d R H e H e W e d e H W d                    g g g ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 − − = = −  j j a d R H e H e H H W d            () Hd −c 0 c  −   1 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 1)当O=0,H(0)为W(0)在一O到O。面积的积分 H(8) 一0c 0 c 卡原0) -21W 2n/N

1).当  = 0, H(0) 为 WRg ( ) 在－c 到c 面积的积分 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 2) 0=0。时，H好与W(@-) 的一半相重叠。这时有H(Q)/H(0)=0.5 Ha(8)米 g(0-8) 0三的

2） 时， 正好与 的一半相重叠。这时有  = c ( −  ) H ( ) WRg d  H( )/ H(0) 0.5 c  = 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计