山东理工大学：《数字信号处理》课程教学课件（讲稿）第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计（4/4）

1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截 止频率f=6kHz,通带最大衰减，=3dB,阻带截止频率 f12Hz,阻带最小衰减a,=25dB。求出滤波器归一化系 统函数G(p)以及实际滤波器的H(s)。 解：(1)求阶数N。 N= Igksp lg入p 1001ap-1。 1025-1 k=V104s-1 ≈17.794 -V103-1

1． 设计一个巴特沃斯低通滤波器， 要求通带截 止频率fp =6 kHz，通带最大衰减ap =3 dB， 阻带截止频率 fs =12kHz， 阻带最小衰减as =25 dB。 求出滤波器归一化系 统函数G(p)以及实际滤波器的Ha(s)。 解: （1） 求阶数N。 s p sp sp 0.1 2.5 sp 0.1 0.3 lg lg 10 1 10 1 17.794 10 1 10 1 a a k N p k s         

2π×12×103 =2 2p 2π×6×103 将k和2，值代入N的计算公式，得 N- lg17.794 1g 2 =4.15 所以取W=5(实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4, 指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到 简化)

3 s sp 3 p 2π 12 10 2 2π 6 10           将ksp和λsp值代入N的计算公式, 得 lg17.794 4.15 lg 2 N   所以取N=5（实际应用中， 根据具体要求， 也可能取N=4， 指标稍微差一点， 但阶数低一阶， 使系统实现电路得到 简化）

(2)求归一化系统函数G(p)。由阶数N=5直接查教材 第157页表6.2.1，得到五阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函 数G(p)为 1 G(p)= p+3.236p4+5.2361p3+5.2361p2+3.2361p+1 或 1 G(p)=D+0.618p+1p2+1.618p+Dp+1) 当然，也可以先按教材(6.2.13)式计算出极点：

（2） 求归一化系统函数G(p)。 由阶数N=5直接查教材 第157页表6.2.1, 得到五阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函 数G(p)为 5 4 3 2 1 ( ) 3.236 5.2361 5.2361 3.2361 1 G p p p p p p       或 2 2 1 ( ) ( 0.618 1)( 1.618 1)( 1) G p p p p p p       当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点：

Dr=e k=0,1,2,3,4 再由教材(6.2.12)式写出G(p)表达式为 G(p)= TI(p-2a) k=0 最后代入值并进行分母展开，便可得到与查表相同的结果。 (3)去归一化（即LPLP频率变换），由归一化系统 函数G(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)

1 2 1 jπ 2 2 e 0,1,2,3,4 k N k p k           再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为 4 0 1 ( ) ( ) k k G p p p     最后代入pk值并进行分母展开， 便可得到与查表相同的结果。 （3） 去归一化（即LP-LP频率变换）， 由归一化系统 函数G(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)

由于本题中a,=3dB,即2。=2。=2元×6×103rad/s,因此 H(s)=Ha(p)川s 2 2 s+3.23612.s4+5.236122s3+5.23612:s2+3.23612.s+2. 对分母因式形式，则有 H(s)=Ha(p)川ns p2 23 (s2+0.61802.s-22)(s2+1.61802.s-2)(s+2)

由于本题中ap =3 dB， 即Ωc =Ωp =2π×6×103 rad/s， 因此 c a a 5 c 5 4 2 3 3 2 4 5 c c c c c ( ) ( ) | 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 s p H s H p s s s s s                对分母因式形式， 则有 c a a 5 2 2 2 2 c c c c c ( ) ( ) | ( 0.6180 )( 1.6180 )( ) s p c H s H p s s s s s               

2.设计一个切比雪夫低通滤波器， 要求通带截止频率f。=3 kHz,通带最大衰减a,=0.2dB,阻带截止频率f=12kHz,阻带 最小衰减a=50dB。求出滤波器归一化系统函数G(p)和实际 的HaS)。 解：(1) 确定滤波器技术指标。 ap=0.2dB,2。=2mf=6π×103rad/s a、=50dB,2、=2πf=24πX103rad/s p-1, = 2 =4 2

2． 设计一个切比雪夫低通滤波器， 要求通带截止频率fp =3 kHz，通带最大衰减αp =0.2 dB，阻带截止频率fs =12 kHz, 阻带 最小衰减αs =50 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)和实际 的Ha(s)。 解: （1） 确定滤波器技术指标。 αp =0.2 dB, Ωp =2πfp =6π×103 rad/s αs =50 dB, Ωs =2πfs =24π×103 rad/s λp =1, s s p 4     

(4)求阶数N和e。 N= arch arch A k1= 1001a-1 ≈1456.65 V10.1a,-1 W arch1456.65 =3.8659 arch 4 为了满足指标要求，取N=4。 6=V100.14,-1=0.2171

(4) 求阶数N和ε。 s p 1 s 0.1 1 0.1 arch arch 10 1 1456.65 10 1 arch 1456.65 3.8659 arch 4 a a k N k N           为了满足指标要求， 取N=4。 p 0.1 10 1 0.2171 a    

(3)求归一化系统函数G(2) 1 Q(p)= &-2-7p-p,)1.7368Tp-p:) 其中，极点p由教材(6.2.46)式求出如下： nchesin k-Dn nrcho 2 k=12,3,4 2N 11 4 ≈0.5580 0.2171

(3) 求归一化系统函数G(p) 4 1 1 1 1 1 ( ) 2 ( ) 1.7368 ( ) N N k k k k Q p  p p p p           其中， 极点pk由教材（6.2.46）式求出如下： (2 1)π (2 1)π ch sin jch cos 1,2,3,4 2 2 1 1 1 1 arsh arsh 0.5580 4 0.2171 k k k p k N N N            

n=-ch0.5580sim+jch0.5580cos=-0,.4438+ji1.0715 8 P 3π p2=-ch0.5580sin+j ch0.5580cos 3领-1.0715+j0.4438 p3=-ch0.5580sin +jch0.580c85=-10715-0458 5 8 8 7 p4=-ch0.5580si 8+jch0.5580cos 7π=-0.4438-j1.0715

1 2 3 4 π π ch0.5580sin j ch0.5580cos 0.4438 j1.0715 8 8 3π 3π ch0.5580sin j ch0.5580cos 1.0715 j0.4438 8 8 5π 5π ch0.5580sin j ch0.5580cos 1.0715 j0.4438 8 8 7π 7π ch0.5580sin j ch0.5580cos 0.4438 j1.07 8 8 p p p p                         15

(4)将G(p)去归一化，求得实际滤波器系统函数Ha(s): H(s)=(p)s 2 173680s-P,P）1-73680&-5) 其中，S=2P=6π×103pk,k=1,2,3,4。因为p4p1,p3=p2*, 所以，s4S1*,S,=S2*。将两对共轭极点对应的因子相乘，得 到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数

(4) 将G(p)去归一化， 求得实际滤波器系统函数Ha(s)： p a 4 4 p 4 4 p 1 1 ( ) ( ) | 1.7368 ( ) 1.7368 ( ) s p p k k k k H s Q p s p s s               其中， sk=Ωppk=6π×103pk , k=1, 2, 3, 4。 因为p4=p1 * , p3=p2 * , 所以， s4=s1 * , s3=s2 * 。 将两对共轭极点对应的因子相乘， 得 到分母为二阶因子的形式， 其系数全为实数