《小波分析》系列讲座6

在上节所讲的V+l=VW中Ⅴ就是尺度空间,即我们观察事物所采用的尺度,也就是分辨率。W就是 细节空间,即不同尺度空间观察事物的差异。并且知道一幅图像=最低分辨率下图像+不同细节空间的细 节信息即一幅图像=系数*尺度基+系数*细节空间基在Har小波中若一个事物可用如下2个尺度基 描述(尺度相同,位移不同)记为1尺度那么当我们用一个大尺度基描述时(即取平均),就会有一个失 真记为0尺度此细节差异就对应描述基如下(补空间基)正如富里叶变换是将一个周期函数用无穷项正 玄或余玄基逼近,小波变换是将一个函数以小波基来逐级逼近。富里叶变换是以ejwt为核进行积分,小波 变换以小波基为核进行积分.函数W(x)为母小波,那么通过尺度变换和平移变换,可得到不同小波基记为 Wab=aHln2W((x-b)/a)因为我们希望小波级数能无条件收敛,故母小波应满足一些条件1.小波函数值 的绝对值在整个R上是可积的L1函数空间即小波函数在无穷大处的值应该趋向于0,保证收敛性2.小波 函数值的平方值在整个R上是可积的L2函数空间即小波函数的能量也是一个有限值,否则就将一个有限 能量函数变换到无限能量级数上,其级数很难收敛当然母小波和被变换函数还应该满足一些其他条件,以 保证反变换存在,否则意义也不大。在实际应用中,我们经常使用离散的2进小波变换。即尺度是2j,位 移是kWk=2jW(2jx-k)构造二进小波函数和尺度函数的方法Vn空间中,设S(x)是一个尺度基, 则S(xk)对应着不同位移的尺度基,所有这些尺度基构成L2函数空间n尺度下的完备基。Vn+1空间中 S(2x)是一个尺度基,则S(2x-k)对应着不同位移的尺度基,所有这些尺度基构成L2空间n+1尺度下的完备 基。如上Har小波图n+1尺度是比n尺度更精细的空间,而vn空间属于n+1空间,故Vn空间中的基 可用Ⅴn+1空间中的基表示即S(x=∑Pk*S(2x-k)Pk是系数。对应的有其补空间基W(x=∑Qk*S (2x-k)Qk是系数。这就是著名的两尺度差分方程,它说明了Vn空间的基与Wn空间的基可由Vn+1空间 的基经过某种方式滤波产生(简单的说就是可由Ⅴn+1空间的基乘以不同系数)。从而我们只需求出系数 就可以由尺度函数生成小波函数。(有些书上,也把Vn称作小波)。此处再次思考一下概念,我们就更明 白了多分辨率小波分析用不同尺度观察事物的思想。其对应滤波器图如下通过2个滤波器P,Q将信号分 ,然后通过其(逆)共轭滤波器P*,Q*进行合成.所谓滤波过程可以简单的认为就是将信号乘以一些系数 例上述har小波两尺度差分方程为S(x=12*S(2x)+12*S(2x-1)W(x)=S(2x)-S(2x-1)对应滤波器系 数如图就很明了了。P=[12,1/21Q=1,-1]P*=[1,1Q*[D,-12I依图所示,我们有如下关系Sj1= Sj*PD-1=Sj*QSj=S-1*P*+Dj-1*Q*对于双正交滤波器,信号S1与D-1不相关那么P应该可 以无损的重构信号,故P*P*=I(单位矩阵)同理Q*Q*=I(单位矩阵)经Q滤波后的信号如果经 P*重构后,值应该为0,保证2滤波器正交,Q*P*=0同理P*Q*=0为使Sj能够重构我们很容易验 证上面Har小波的滤波器系数这也说明了小波变换与滤波器的关系- FEATHERSKY

在上节所讲的 Vi+1=Vi+Wi 中 V 就是尺度空间，即我们观察事物所采用的尺度，也就是分辨率。 W 就是 细节空间，即不同尺度空间观察事物的差异。 并且知道 一幅图像=最低分辨率下图像+不同细节空间的细 节信息即 一幅图像=系数 * 尺度基 + 系数 * 细节空间基 在Harr 小波中若一个事物可用如下 2个尺度基 描述（尺度相同，位移不同） 记为 1 尺度 那么当我们用一个大尺度基描述时（即取平均），就会有一个失 真 记为 0 尺度 此细节差异就对应描述基如下（补空间基） 正如富里叶变换是将一个周期函数用无穷项正 玄或余玄基逼近，小波变换是将一个函数以小波基来逐级逼近。富里叶变换是以 ejwt 为核进行积分，小波 变换以小波基为核进行积分. 函数 W(x) 为母小波，那么通过尺度变换和平移变换，可得到不同小波基记为 Wa,b=| a |-1/2 W( (x-b) /a ) 因为我们希望小波级数能无条件收敛，故母小波应满足一些条件 1. 小波函数值 的绝对值在整个 R 上是可积的 L1 函数空间即小波函数在无穷大处的值应该趋向于 0，保证收敛性 2. 小波 函数值的平方值在整个 R 上是可积的 L2 函数空间即小波函数的能量也是一个有限值，否则就将一个有限 能量函数变换到无限能量级数上，其级数很难收敛 当然母小波和被变换函数还应该满足一些其他条件，以 保证反变换存在，否则意义也不大。 在实际应用中，我们经常使用离散的 2 进小波变换。即尺度是 2 j , 位 移是 k Wj,k= 2 j/2 W ( 2 j x- k ) 构造二进小波函数和尺度函数的方法 Vn 空间中，设 S (x)是一个尺度基， 则 S (x-k) 对应着不同位移的尺度基,所有这些尺度基构成 L2 函数空间 n 尺度下的完备基。 Vn+1 空间中， S(2x)是一个尺度基，则 S(2x-k) 对应着不同位移的尺度基,所有这些尺度基构成 L2 空间 n+1 尺度下的完备 基。 如上 Harr 小波图 n+1 尺度是比 n 尺度更精细的空间，而 Vn 空间属于 Vn+1 空间，故 Vn 空间中的基 可用 Vn+1 空间中的基表示即 S (x)= ∑ Pk * S (2x-k) Pk 是系数。对应的有其补空间基 W (x)= ∑ Qk * S (2x-k) Qk 是系数。 这就是著名的两尺度差分方程，它说明了 Vn 空间的基与 Wn 空间的基可由 Vn+1 空间 的基经过某种方式滤波产生（简单的说 就是可由 Vn+1 空间的基乘以不同系数）。从而我们只需求出系数， 就可以由尺度函数生成小波函数。（有些书上，也把 Vn 称作小波）。此处再次思考一下概念，我们就更明 白了多分辨率小波分析用不同尺度观察事物的思想。 其对应滤波器图如下 通过 2 个滤波器 P, Q 将信号分 解，然后通过其(逆)共轭滤波器 P*, Q*进行合成. 所谓滤波过程可以简单的认为就是将信号乘以一些系数 例上述 harr 小波两尺度差分方程为 S (x)= 1/2 * S (2x)+ 1/2 * S (2x-1) W (x)= S (2x) - S (2x-1) 对应滤波器系 数如图就很明了了。 P =[1/2 , 1/2 ] Q =[1, -1] P*=[1, 1 ]T Q*=[1/2, -1/2 ]T 依图所示，我们有如下关系 Sj-1 = Sj * P Dj-1 = Sj * Q Sj = Sj-1 * P* + Dj-1 * Q* 对于双正交滤波器，信号 Sj-1 与 Dj-1 不相关那么 P 应该可 以无损的重构信号 ，故 P * P* = I ( 单位矩阵) 同理 Q * Q* = I ( 单位矩阵) 经 Q 滤波后的信号 如果经 P* 重构后，值应该为 0，保证 2 滤波器正交， Q * P* =0 同理 P * Q*=0 为使 Sj 能够重构 我们很容易验 证上面 Harr 小波的滤波器系数这也说明了小波变换与滤波器的关系 -----FEATHERSKY