荆州职业技术学院：《高职高专应用数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 函数、极限与连续（1.8）函数的连续性

第。画,氯浪毒。 第八、九节函数的连续性 知识 本节目的 与要求 函数连续性的概念 本节重点 与难点 本节复习 二、函数的间断点 指 三、闭区间上连续函数的性质 出 后還目录 上页下页返回 第1页

上页 下页 返回 第 1 页 第八、九节 函 数 的 连 续 性 二、 函数的间断点 三、 闭区间上连续函数的性质 一、 函数连续性的概念 本节预备 知识 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导 后退 目录 主 页 退 出 第一章 函数，极限与连续

第∽、九背。鲕的這惺 函数的连续性 1.函数的改变量 设函数y=f(x)在某区间内有定义当自变量x在 曾区间内由x?变到x时,差x1x川叫做自变量x在点 求 x的改变量,记作AC=x 而 本节 点△y=f(x1)-∫ (x0)称为函数f(x)相应于△x的改变量 点 J 本节 指导 y=f(x)/ y=f(r) △ △ 氵△AC氵 △v xa+△xx0|x 0 x0+△xx 第2页 上页[下页返回

上页 下页 返回 第 2 页 一、 函数的连续性 1. 函数的改变量 的改变量 记作 而 区间内由 变到 时 差 叫做自变量 在点 设函数 在某区间内有定义 当自变量 在 , , , ( ) , 0 1 0 0 1 1 0 x x x x x x x x x y f x x  = − − = ( ) ( ), ( ) . y = f x1 − f x0 称为函数 f x 相应于x的改变量 x y 0 x y 0 0 x x0 + x y = f (x) x 0 x x0 + x x y y y = f (x) 第八、九节 函 数 的 连 续 性 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 后退 目录 主 页 退 出

第∽、九背。鲕的這惺 2.连续的定义 定义1设函数y=f(x)在点x及其附近有 定义如果当自变量的增量△x趋向于零时, 对应的函数的增量A也趋向于零即 本节 重点 im4y=0或limf(x+△x)-f(x)=0 本节 则称函数y=f(x)在点x处连续,点x称为 f∫(x)的连续点。 上页下页返回 第3页

上页 下页 返回 第 3 页 2. 连续的定义 定 义 1 设函数 y = f (x)在点x0及 其附 近有 定 义,如果当自变量的增量x趋向于零时, 对应的函数的增量y也趋向于零,即 lim 0 0  =  → y x 或 lim[ ( 0 ) ( 0 )] 0 0 +  − =  → f x x f x x 则称函数 y = f ( x)在 点 0 x 处连 续,点 0 x 称 为 f (x)的连续点。 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第八、九节 函 数 的 连 续 性

设x=x+△x,△y=f(x)-f(xn), 妞|Ax→0就是x→x,4y→0就是f(x)→f(x 知识 本由此连续的定义又可叙述如下: 目的 定义2设函数y=f(x)在点x及附近有 本节 定义,如果函数y=f(x)当x→x时的极 点 码限存在且等于它在点x处的函数值(x) 即: lim∫(x)=f(x0) x→ 则称函数y=f(x)在点x处连续。 上页下页返回 第4页

上页 下页 返回 第 4 页 定 义 2 设函数 y = f (x)在 点 x0及附近有 定 义,如果函数 y = f (x)当 x → x0时的极 限存在,且等于它在点x 0处的函数值 ( ) x0 f , 即： lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 则称函数 y = f (x)在 点x 0处连续。 , 设 x = x0 + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f 由此,连续的定义又可叙述如下： 主页 目录 后退 退出 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第八、九节 函 数 的 连 续 性

第∽、九背。鲕的這惺 例1试证函数f(x)= -sin,,≠0 在x=0 预备 知识 0, 本节 处连续 目的 求 本节 证 lim x sin x→0 重点 又f0)=0.m/(x)=f( 本节 指导 由定义2知 函数f(x)在x=0处连续 上页下页返回 第5页

上页 下页 返回 第 5 页 例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 =     =  = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x  又 f (0) = 0, 由定义2知 函数 f (x)在x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = → 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第八、九节 函 数 的 连 续 性

补充:单侧连续 若函数f(x)在(a,x0有定义,且f(x0-0)=f(x 知识 本则称f(x)在点x处左连续; 目的 如若函数(x)在1x,b)内有定义且f(xn+0)=f(xn) 则称f(x)在点xn处右连续 本节 定理函数f(x)在x处连续兮是函数f(x)在xo 处既左连续又右连续 上页下页返回 第6页

上页 下页 返回 第 6 页 补充：单侧连续 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x 定理 . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函 数 f x 在 x 处连续 是函数 f x 在 x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第八、九节 函 数 的 连 续 性

第∽、九背。鲕的缝续 x/例2讨论函数(y=++2,x20,在x=0处的 x-2,x<0, 预备 知识 连续性 本节 目的 M limf(x)=lim(x+2)=2-f(O), 重点 与难 点 limf(x)=lim(x-2)=-2*f(0), 本节 指导 右连续但不左连续 故函数f(x)在点x=0处不连续 上页下页返回 第7页

上页 下页 返回 第 7 页 例2 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处 的    −  +  = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2 f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x = 0处不连续. 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第八、九节 函 数 的 连 续 性

3.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上 的连续函数或者说函数在该区间上连续 目的 如果函数在开区间(a,b内连续,并且在左端点 本节 x=a处右连续,在右端点x=b处左连续,则称 点 函数f(x)在闭区间[a,b1上连续 指导 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如有理函数在区间(-0,+∞)内是连续的 上页下页返回 第8页

上页 下页 返回 第 8 页 3. 连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. ( ) [ , ] . , , ( , ) , 函数 在闭区间 上连续 处右连续 在右端点 处左连续 则称 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 f x a b x a x b a b = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 有理函数在区间(−,+)内是连续的. 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第八、九节 函 数 的 连 续 性

第∽、九背。鲕的這惺 连续函数具有下面的运算法则 预备 知识 法则1若函数f(x),g(x)在点x处连续 目的 兰则(x)±g(,f(x)g(x,()(gx)≠0 本节 g(x) 重点 在点x处也连续 本节 指导 例如,sinx,cosx在(-0,+∞)内连续, 故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续 上页下页返回 第9页

上页 下页 返回 第 9 页 法则1 . ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) , 0 0 0 在 点 处也连续 则 若函数 在 点 处连续 x g x g x f x f x g x f x g x f x g x x    例如, sin x,cos x在(−,+)内连续, 故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续. 连续函数具有下面的运算法则： 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第八、九节 函 数 的 连 续 性

第∽、九背。鲕的這惺 法则设函数u=(x)在点x=x连续,且 |q(x)=4,而函数p=f()在点m=连续 知识 则复合函数y=八q(x)在点x=x也连续 目的 法则3严格单调的连续函数必有严格单调的 本节连续反函数 重点 过例如,P=smx在22上单调增加且连续 本节 故y= arcsinx在-1,上也是单调增加且连续 同理y= arccos在-1,单调减少且连续; y= arctan,y= arccot x在,+ol上单调且连续 上页下页返回 第10页

上页 下页 返回 第 10 页 法则3 严格单调的连续函数必有严格单调的 连续反函数. 例如, ] , 2 , 2 sin 在[ 上单调增加且连续   y = x − 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. 同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在[− ,+ ]上单调且连续. 法则2 [ ( )] . ( ) , ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 则复合函数 在 点 也连续 而函数 在 点 连 续 设函数 在 点 连 续 且 y f x x x x u y f u u u u x x x =  =  = = = =  = 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第八、九节 函 数 的 连 续 性