荆州职业技术学院：《高职高专应用数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 不定积分（4.3）分部积分法

第章买氯弩 本节预备 知识 本节目的 第三节分部积分法 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指 后退 出 第1页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 1 页 第三节 分部积分法 第四章 不定积分 后退 目录 主 页 退 出 本节预备 知识 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导

第三常分部积令 预备 知识 、预备知识 本节 目的 景函数积的微分法则 本节 重点 与难 点 设函数n=u(x)和v=v(x)都是x的可微函数, 本节 则 指导 d(uv)=udv + vdu 后退 第2页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 2 页 一、预备知识 函数积的微分法则 d(uv) = udv + vdu 则 设函数u = u(x)和v = v(x)都是x的可微函数， 第三节 分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第三常分部积令 二、分部积分法 癲问题「 xsinxdx=? 本节 曾解决思路利用两个函数乘积的求导法则 求 设函数n=(x)和v=v(x)具有连续导数, 与难 点 本节 (uv=u'v+uv, uv=(uv)-u'v 指导 uv'dx=uv-u'vdx, udv=uv=vdu 后退 分部积分公式 第3页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 3 页 问题  xsin xdx = ? 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u(x)和v = v(x)具有连续导数, (uv) = uv + uv ,  uv (uv) − uv,   = uv dx uv u vdx,    = −  udv uv vdu.   = − 分部积分公式 二、分部积分法 第三节 分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第三常分部积令 例1求积分∫ xsin xd 照解(一)令= sin x xdx=dx2=h 2 本节 2 目的 xsinxdx =sInx+ sin xdx 求 2 2 本节 重点 显然,u,ν选择不当,积分更难进行 与难 解(二)令n=x, sin xdx=4(-csx)=hp 本节 指导 xsinxd=「xd(-cosx) -xcosx-(cos x)dx 后退 =-xcosx +sinx+c 第4页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 4 页 例1 求积分  xsin xdx 解（一） xdx = dx = dv 2 2 1  xsin xdx  = + xdx x x x sin 2 sin 2 2 2 显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u = x, sin xdx = d(−cos x) = dv  xsin xdx ( cos )  = xd − x  = −xcos x − (−cos x)dx = −xcos x + sin x + C. 令 u = sin x 第三节 分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第三常分部积令 例2求积分」xe 预备 知识 解令Ⅱ=x,已b=le=巾 本节 目的 求 ∫xe=xc-」ex 本节 重点 与难 =re=e+ C 点 总结若被积函数是幂函数和正余弦函数或幂 函数和指数函数的乘积,一般设幂函数为u,使 其降幂一次(偎定幂指数是正整数) 后退 第5页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 5 页 例2 求积分  xe dx x 解 u = x, e dx de dv, x x = =  xe dx x  = xe − e dx x x xe e C. x x = − + 令 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂 函数和指数函数的乘积, 一般设幂函数为u , 使 其降幂一次(假定幂指数是正整数) 总结 第三节 分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第三常分部积令 预备 例3求积分∫xcsx 知识 本节 目的 解令=x2,c0x= d sinx=th, 求 本节 重点 x cos xdx=xsinx-2 xdx 与难 点 本节 指导 (再次使用分部积分法) =x sin x-2xcos x +2 sinx +C 后退 士页下页返回 第6页

上页 下页 返回 第 6 页 （再次使用分部积分法）  x cos xdx 2 例3 求积分  x cos xdx 2 解 令 , 2 u = x cos xdx = d sin x = dv,  = x sin x − 2 xsin xdx 2 sin 2 cos 2sin . 2 = x x − x x + x + C 第三节 分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第三常分部积令 例4求积分 rarctan xo 2 |解令l= arctan,xt=dx=h 知识 2 2 本节 目的 xarctanxdx= arctan- d(arctan x) 2 2 求 2 sare, 2 1++e dx 本节 本节 arctan (1 Ddx 指导 x2 21+x x2 =arctan(x-arctanx)+C. 2 2 后退 士页下页返回 第7页

上页 下页 返回 第 7 页 例4 求积分 arctan .  x xdx 解 令 u = arctan x , dv x xdx = d = 2 2  xarctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x  = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = −   dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = −  −  ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − + 第三节 分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第三常分部积令 例5求积分」x2 Inxdx 解令n=mx,xh=a()=h 知识 本节 x In xd==Inx dInx 目的 3 3 求 3 本节 =yImx一 dx 重点 3 3x 与难 点 本节 x inex +c 3 3 9 指导 总结若被积函数是幂函数和反三角函数或幂 函数和对数函数的乘积,一般不设幂函数为u, 后退 使其降幂一次(偎定幂指数是正整数) 第8页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 8 页  x ln xdx 2 例5 求积分 解 令 u = ln x, ) , 3 ( 3 2 dv x x dx = d =  = − d x x x x ln 3 ln 3 3 3  x ln xdx 2  = − dx x x x x 1 . 3 ln 3 3 3 x x C x = − + 3 3 9 1 ln 3 若被积函数是幂函数和反三角函数或幂 函数和对数函数的乘积, 一般不设幂函数为u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 总结 第三节 分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第三常分部积令 例6求积分 e cos xdx 删解 e cos xdx=|eod(sinx) 本节 目的 e sin x-(sin x) e dx 求 本节 e-'sinx-ed(cos x 重点 与难 点 e- sinx-le(cos x)-(cos x).e dI 本节 指导 =e(sinx+cosx)-e^ cos xdx注意循环形式 e- cos xd==e(sin x cos x)+C 2 后退 士页下页返回 第9页

上页 下页 返回 第 9 页 例6 求积分  e xdx x cos 解 e d(sin x) x  =  = e x − x  e dx x x sin (sin )  = e x + x − e xdx x x (sin cos ) cos  e xdx x cos  = e sin x − e d(−cos x) x x e sin x [e ( cos x) ( cos x).e dx] x x x  = − − − −  e xdx x cos e x x C x = (sin + cos ) + 2 1 注意循环形式 第三节 分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第三常分部积令 arctan 例7求积分 ● 2 1+x 预备 知识 本节 解 1+x2)= 目的 √1+x 求 本节 x arctan d x-larctanxd1+x2 重点 与难 √1+x 2 点 本节 =√1+x2 arctan一 √1 +x d(arctan x 指导 VI+x arctan- vI*-+2 1 2 dx 1+x 后退 第10页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 10 页 例7 求积分  + . 1 arctan 2 dx x x x 解 ( ) , 1 1 2 2 x x x + =   +  +  dx x x x 2 1 arctan  = + 2 arctan xd 1 x 1 arctan 1 (arctan ) 2 2 x x x d x  = + − + dx x x x x 2 2 2 1 1 1 arctan 1 + = + − +   第三节 分部积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导