荆州职业技术学院：《高职高专应用数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 不定积分（4.2）换元积分法

第章买氯弩 增第二节换元积分法 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 I.第一类换元法 指 II。第二类换元法 后退 出 第1页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 1 页 II.第二类换元法 I. 第一类换元法 第二节 换元积分法 第四章 不定积分 后退 目录 主 页 退 出 本节预备 知识 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导

第二常换无积 I.第一类换元积分法 预备 知识 本节 、预备知识 目的 求 1复合函数的求导法则 本节 重点 与难 df(u) df(u) du 点 d x 本节 指导 2微分的形式不变性 df (u)=f(udu 后退 第2页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 2 页 I. 第一类换元积分法 一、预备知识 1.复合函数的求导法则 dx du du df u dx df u =  ( ) ( ) 2.微分的形式不变性 df (u) = f (u)du 第二节 换元积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第二常换无积 二、第一类换元积分法 预备 知识 问题∫c0s2xdt号sm2x+C, 目的 求 本节解决方法利用复合函数,设置中间变量 重点 与难 过程令=→在1 点 dt 指导 2 jcos 2 xd=cos tdt=,sint+C sin2x+c 2 后退 第3页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 3 页 问题  cos2xdx= sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 2 1  dx = dt  cos2xdx tdt  = cos 2 1 = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 二、第一类换元积分法 第二节 换元积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第二常换无积 在一般情况下: |设F(o0=/an,则∫ra)Mm=r(a)+C 知识 本如果u=g(x)(可微) 目的 3∵:fp(x)p(x)dx=∫q(x)lp(x) 本节 重点 与难 点 f(udu= F(u)du 本节 指导 IfIp(x)l(x dx=F(udu F(u)+C=∫(x)+c 由此可得换元法定理 第4页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 4 页 在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) .  f u du = F u + C 如果 u = (x) （可微）  f[(x)](x)dx = f[(x)]d(x)    f[(x)](x)dx = F'(u)du 由此可得换元法定理 = f (u)du = F'(u)du = F(u) + C = f[(x)]+ c 第二节 换元积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第二常换无积 定理1设F()为f(-的一个原函数,即 预备 知识 f(udu= F(u)+C a=q(x)具有连续导数,则有 求 本节 fl(x)lp()dx=flo(x)ldo(x) 重点 与难 点 本节 (p(x)=u 回代 指导 ∫M=-r+c9(9+ 上述求积分的方法称为第一类换元积分 m法(凑微分法)。 第5页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 5 页  f[(x)](x)dx 上述求积分的方法称为第一类换元积分 法（凑微分法） 。 u = (x)具有连续 定理1 设 F(u)为f (u 的一个原函数，即 )  f (u)du = F(u) + C 导数，则有 = F(u) + C  = f[(x)]d(x)  = f (u)du (x) = u 回代 = F[(x)]+ C 第二节 换元积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第二常换无积 例1求|sin2xdtx 解(-)「sin2xs ∫sn2xd(2x) 2 本节 目的 =-c0s2x+C; 求 西解(=)m2x=2小mx 点 本节 2fsinxd (sinx)=(sin x)+C, 指导 解(三)im2x=2 ineosxdx 后退 -2 cos xd (cos x)=-cosx)+C 士页下页返回 第6页

上页 下页 返回 第 6 页 例1 求 sin2 .  xdx 解（一）  sin2xdx cos 2 ; 2 1 = − x + C 解（二）  sin2xdx =  2 sin xcos xdx (sin ) ; 2 = x + C 解（三）  sin2xdx =  2 sin xcos xdx (cos ) . 2 = − x + C  = sin 2 (2 ) 2 1 xd x  = 2 sin xd(sin x)  = −2 cos xd(cos x) 第二节 换元积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第二常换无积 例2求∫4x-1t 解A(4x-1)=d 本节 目的 20 20 求 4x-1)= 本节 4/(4x-1)d(4x-1) 重点 与难 点 L=4x-1 本节 =[20ahe=2+C 指导 84 回代 后退 =(4x-1)21+C 84 第7页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 7 页 例2 求 (4 1) . 20 x dx  − 解 d(4x − 1) = dx 4 1 u du  = 20 4 1 = u + C 21 84 1 x dx  − 20 (4 1) = x − + C 21 (4 1) 84 1 u = 4x − 1 回代 (4 1) (4 1) 4 1 20 = − −  x d x 第二节 换元积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第二常换无积 例3求 ● x(1+Inx) 预备 知识 本节 解 x(1+Inx) (Inx) 目的 1+Inx 求 本节 重点 d(1+In x) 与难 1+Inx 点 本节 u=1+Inx 指导 回代 du =Inu+C=ln(1+Inx)+C 后退 第8页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 8 页 例3 求 . (1 ln ) 1 dx x x  + 解 dx x x  (1 + ln ) 1 u = 1+ ln x  = du u 1 = lnu + C = ln(1 + ln x) + C. 回代 (ln ) 1 ln 1 d x x  + = (1 ln ) 1 ln 1 d x x + + =  第二节 换元积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第二常换无积 一般地 ‖在积分运算中常用到两个微分性质: 预备 知识 (1)dp(x)=-d|g(x)(a≠0) 本节 目的 (2)dp(x)=l(x)±b p(x)± 例4求」mxd 重点 x解〔 tan xdx=[温xc 本节 cos r 指导 =(0=-mcx+c 后退 同理 cot xdx= Inosine+c 士页下页返回 第9页

上页 下页 返回 第 9 页 一般地 在积分运算中常用到两个微分性质： [ ( )] ( 0) 1 (1) ( ) = d a x a  a d x (2) d(x) = d[(x)  b] 例4 求  tan xdx  解 tan xdx dx x x  = cos sin dx = −lncos x + c x d x  = − cos (cos )  同理 cot xdx = lnsin x + c 第二节 换元积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第二常换无积 例5求 S d x atx 预备 知识 1 本节 解 目的 2 dx ax 求 1 2 本节 重点 与难 点 2( 本节 °1+ 指导 -arctan -+C 后退 第10页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 10 页 例5 求 . 1 2 2 dx a x  + 解 dx a x  + 2 2 1 dx a a x  + = 2 2 2 1 1 1 arctan . 1 C a x a = + ( ) 1 ( ) 1 1 2 a x d a a x  + = 第二节 换元积分法 后退 目录 主 页 退 出 本节 预备 知识 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导