荆州职业技术学院：《高职高专应用数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 导数与微分（2.1）导数的概念

第一节导数的概念 本节知识 引入 本节目的 与要求 导数的定义 本节重点 与难点 可导与连续的关系 本节复习 指 导数的实际意义 后退 出 第1页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 1 页 第一节 导数的概念 一、 导数的定义 三、 导数的实际意义 二、 可导与连续的关系 第二章 导数与微分 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导 后退 目录 主 页 退 出

第一节子款的流合 导数的概念 1、引例 本节 (1)变速直线运动的瞬时速度 如图物体运动位移与时间的关系为s=f( 3求时刻的瞬时速度v(t)从1到+A这段时间内 本节 平均速度v=4=01+1) 本节 ∠1t 指导 △s 当△→O时平均速度的极限为9m易m易mwm f(to f(to: At) 2-瞬时速度m)=mn=ln4=m(n+1)-/() 4→>0∠t4→>0 ∠1t 第2页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 2 页 一、导数的概念 1、引例 第一节 导数的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 求t 0 时刻的瞬时速度v(t 0 )： 平均速度 当t → 0时, 平均速度的极限为 瞬时速度 ( ) 0 f t s ( ) 0 f t + t （1）.变速直线运动的瞬时速度 如图,物体运动位移与时间的关系为s = f (t) , 从t 0 到t 0 + t这段时间内 t f t t f t t s v     ( ) ( ) 0 + − 0 = = t f t t f t t s v t v t t t        ( ) ( ) ( ) lim lim lim 0 0 0 0 0 0 + − = = = → → →

(2).曲线的切线斜率割线的极限位置—切线 本节 知识 引入 本节 目的 求 本节 重点 与难 点节 本复指 得导 后退 第3页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 3 页 （2）.曲线的切线斜率 割线的极限位置——切线 播放 第一节 导数的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第一节导数的流会 y=f(r) 蘊|如图当曲线的割线MP 引入 的P点沿曲线趋向于点M AyT 时,割线MP的极限位置 M MT称为曲线在点M处的 △x 切线 0 0x+△xx 当P→M割线倾斜角→B如m→如O 本节 切线M的斜率为k=mO=lmm=lmny △x→>0 Ax→>0△ s lim f(o+Ax)-f(o) △x→>0 后退 △x 第4页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 4 页   T 0 x x + x 0 o x y y = f (x) P M 如图,当曲线的割线MP 的P点沿曲线趋向于点M 时，割线MP的极限位置 MT称为曲线在点M处的 切线. 当P → M,割线倾斜角 →,tan → tan 切线MT的斜率为 tan lim tan lim . 0 0 x y k x x   = = =  →  →   第一节 导数的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 x y . ( ) ( ) lim 0 0 0 x f x x f x x  +  − =  →

第一常导款的辄会 2、导数的定义 本节 定义:设函数y=f(x)在点x及其附近有 蕾定义,当自变量x在x处取得增量△x时 相应地函数y有增量Ay=f(x+△x)-/f(x 本节 如果极限 点 本节 f(xo+△x)-f(xo) 存在 指导 Ax→>0△x4x→>0 △x 则称函数y=f(x)在点x处可导,并称这个极 限值为函数y=f(x)在点x处的导数,记为 后退 x=x02 第5页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 5 页 2、导数的定义 ( ) , , ( ) , , ( ) ( ) lim lim ( ) ( ); , , ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x y f x x y y f x x x f x x f x x y y y f x x f x x x x y f x x =  →  → =  =  +  − =    = +  −  = 限值为函数 在点 处的导数 记为 则称函数 在点 处可导 并称这个极 存在 如果极限 相应地函数 有增量 定义 当自变量 在 处取得增量 时 定义： 设函数 在点 及其附近有 第一节 导数的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第一常导款的辄会 本节 知识 f(x)=或( dx x=x03 引入 罗|即y-=nm=Jimf(xn+Ax)-f(x) 本节 △x→0△△x→0 △ 本节 置其它形式r(x)=mf(x+h)-f(x) 重点 h→>0 本节 指导 f(o=lim f(x)-f(x0) x→x 0 后退 士页下页返回 第6页

上页 下页 返回 第 6 页 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + −  = → 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − −  = → x f x x f x x y y x x x x  +  − =    =  →  → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , ( ) ( ) 0 0 0 x x x x dx df x dx dy f x = =  、 或 即 第一节 导数的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第一常导款的辄会 1)关于导数的说明: 本节 知识 引入 ★函数在x点的导数是因变量在点x处 本节 目的 录的变化率它反映了因变量随自变量的变化 而变化的快慢程度 与难 点 ★如果函数y=fx)在开区间ab的每点 指导 处都可导,就称函数f(x)在开区间(a,b)内可导 后退 士页下页返回 第7页

上页 下页 返回 第 7 页 . , 0 0 而变化的快慢程度 的变化率 它反映了因变量随自变量的变化 函数在x 点的导数是因变量在点x 处 , ( ) ( , ) . ( ) ( , ) 处都可导 就称函数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点 f x a b y = f x a b ★ ★ 1）关于导数的说明： 第一节 导数的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第一节导款的合 对于任x∈(a,b),都对应着f(x)的一个确定的 本节 知识 导数值f(x),这个新函数叫做原来函数f(x)的导 引入 函数记作yr(2或,简称导数 求 本节 重点 即y=Imf(x+△0)-fx) 与难 △x→0 △x 点 或∫"(x)=limf(x+h)-f(x) 本节 h→0 h 注意:1.f(x)=f(x) 后退 x=to 第8页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 8 页 函数记作 或 简称导数。 导数值 这个新函数叫做原来函数 的导 对于任一 都对应着 的一个确定的 , ( ) , ( ), ( ), ( ) ( , ), ( ) dx df x dx dy y f x f x f x x a b f x     x f x x f x y x  +  −  =  → ( ) ( ) lim 0 即 . ( ) ( ) ( ) lim 0 h f x h f x f x h + −  = → 或 注意: 1. ( ) ( ) . 0 x x0 f x f x =  =  ★ 第一节 导数的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第一常导款的辄会 3、求简单函数的导数举例 本节 知识 型步骤:(求增量4=f(x+△x)-f(x 本节 目的 求 (2)算比值4f(x+△)-(x) △v △r 本节 重点 (3)求极限y′=lim △ 与难 点 △x→>0△x 例1求函数f(x)=C(C为常数的导数 解∫(x)=im h→>0 h=lim C-C f∫(x+h)-f(x) =0 h→>0 后退 即C)=0. 士页下页返回 第9页

上页 下页 返回 第 9 页 3、求简单函数的导数举例 步骤: (1)求增量 y = f (x + x) − f (x);; ( ) ( ) (2) x f x x f x x y  +  − =   算比值 (3) lim . 0 x y y x    =  → 求极限 例1 求函数 f (x) = C(C为常数)的导数. 解 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h C C h − = →0 lim = 0. 即 (C) = 0. 第一节 导数的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导

第一常导款的辄会 例2设函数f(x)=simx,求( sin x)'及(imx),x 本节 知识 解(simx)y=im sin(x+h) sIn 本节 目的 h 求 h sin lim cos(x + 2 本节 = cos 重点 h→>0 与难 点 2 本节 即sinx)′=cosx. 指导 ∴(Sinx coSX 2 后退 第10页 士页下页返回

上页 下页 返回 第 10 页 例2 ( ) sin , (sin ) (sin ) . 4  = =   x 设函数 f x x 求 x 及 x 解 h x h x x h sin( ) sin (sin ) lim 0 + −  = → 2 2 sin ) 2 lim cos( 0 h h h x h = +  → = cos x. 即 (sin x) = cos x. 4 4 (sin ) cos  =  =   = x x x x . 2 2 = 第一节 导数的概念 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导