浙江大学：《数值分析》课程PPT教学课件（双语版）第八章 数值积分 Numerical Integration §1Newton-Cotes 公式 Newton-Cotes Formulae

第八章数值积分 Numerical Integration 近限计算1-/x 插值型积分公式 §1 Newton- Cotes公式 interpolatory quadrature*/ 思利用插值多项式P(x)/则积分易算 在b上取a≤x< x1x≤b,做/的n次插值多 项式L(x)=∑f((x即得到 误差R∫ L(x)dxD ak k=0 ∫f(x)dx-∑4f(x) k A1Lm,与/E(-L b 由节点决定 (n+1)(E PITO x-xxdx (n+1)!

第八章 数值积分 /* Numerical Integration */ 近似计算  = b a I f (x)dx §1 Newton-Cotes 公式 思 路 利用插值多项式 Pn (x)  f (x) 则积分易算。  在[a, b]上取 a  x0 < x1 <…< xn  b，做 f 的 n 次插值多 项式  ，即得到 = = n k Ln x f xk l k x 0 ( ) ( ) ( )    =  b a b a k n k f (x)dx f (xk ) l (x)dx 0 Ak    − − = b a j k x x x x Ak dx k j j ( ) ( ) 由 决定， 与 无关。 节点 f (x) 插值型积分公式 /*interpolatory quadrature*/       = + = − + = = − = = − b a n k k x n b a n b a n b a n k k k x x dx n f f x L x dx R x dx f x dx A f x R f 0 ( 1) 0 ( ) ( 1)! ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) [ ]  误差

1 Newton-Cotes Formulae 定义若某个求积公式所对应的误差R满足:FPA=0对任 意k≤n阶的多项式成立,且RPn+11≠0对某个n+1阶多项式 成立,则称比求积公式的代数精度为n。 例:对于{a,b上1次插值,有L1(x)==bf(a)+-∫(b) b A41=42=一,(x)f(a)+fb) 考察其代数精度。 解:逐次检查公式是否精确成立 形公式a fb) 代入P0=1求4言623aH才 1]fa 代入P1=x」==号+创 代入P2=x2fxah=y≠2a2+621代数精度=1

§1 Newton-Cotes Formulae 定义 若某个求积公式所对应的误差R[ f ]满足：R[ Pk ]=0 对任 意 k  n 阶的多项式成立，且 R[ Pn+1 ]  0 对某个 n+1 阶多项式 成立，则称此求积公式的代数精度为 n 。 例：对于[a, b]上1次插值，有 ( ) ( ) ( ) L1 x f a f b b a x a a b x b − − − − = + ( ) [ ( ) ( )] 1 2 2 2 A A f x dx f a f b b a b a b a = =  + − −  考察其代数精度。 f(x) a b f(a) 梯形公式 f(b) /* trapezoidal rule*/ 解：逐次检查公式是否精确成立 代入 P0 = 1：  = − b a 1 dx b a [1 1] 2 + b−a = 代入 P1 = x ： = 代入 P2 = x 2 ：  2 2 2 b a b a x dx − =  [ ] 2 a b b a + − 3 2 3 3 b a b a x dx − =  [ ] 2 2 2 a b b a + − 代数精度 = 1

1 Newton-Cotes Formulae 注:形如∑4f(x)的求积公式至少有n次代数精度该 k=0 公式为插值型(即:4=m1(x)k) ◆当节点等距分布时:x=a+小b-0,i=0,1…,n C-d x;-x;) 令x=a+th SIl- Dhxh d=(0-d) -)r SII(-idt 注:Cot系数仅取决于n和i,(ocs系数C 可查表得到。与∫(x)及区 间a,b均无关

§1 Newton-Cotes Formulae 注：形如 的求积公式至少有 n 次代数精度  该 公式为插值型（即： ） = n k k k A f x 0 ( )  = b a Ak l k (x)dx ❖ 当节点等距分布时： i n n b a xi a i h, h , = 0, 1, ... , − = + = dx x x x x A xn x j i i j j i    − − = 0 ( ) ( )      −  − − − −  = − − = n i j n i n i j t j dt n i n i b a h dt i j h t j h 0 0 ( ) !( )! ( )( 1) ( ) ( ) 令 x = a + t h Cotes系数 (n) Ci 注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i， 可查表得到。与 f (x) 及区 间[a, b]均无关。 

8 1 Newton-Cotes Formulae n=1:c=7 2 9r. Excuses for not zoidal Rule doing homework HW I could only get arbitrarily RLA Fb-a,用中 p170 close to my textbook. #3 I couldnt actually reach it 2:C (2) 0 Simpson’ s Rule n为偶数阶的 Newton-Cotes 公式至少有n+1次代数精度。 代数精度=3 b-a RIfT ∈(a,b),h= n=3: Simpson338Ru、成数精度=3,刚/1=80/(5) n=4: Cotes rule,代数精度=5,fl 8 g4sh'f(6(5)

§1 Newton-Cotes Formulae 2 1 , 2 1 (1) 1 (1) n = 1: C0 = C = [ ( ) ( )] 2 ( ) f a f b b a f x dx b a + −   Trapezoidal Rule x a x b dx f R f b a x ( )( ) 2! ( ) [ ] − −  =   /* 令 x = a+th, h = b−a, 用中 值定理 */ 1 ( ) , [ , ], 12 1 3 b a h f a b h − = −     = 代数精度 = 1 n = 2: 6 1 , 3 2 , 6 1 (2) 2 (2) 1 (2) C0 = C = C = [ ( ) 4 ( ) ( )] 6 ( ) 2 f a f f b b a f x dx a b b a + + −  +  Simpson’s Rule 代数精度 = 3 2 ( ) , ( , ) , 90 1 [ ] 5 (4) b a R f h f a b h − = −    = n = 3: Simpson’s 3/8-Rule, 代数精度 = 3, ( ) 80 3 [ ] 5 (5) R f = − h f  n = 4: Cotes Rule, 代数精度 = 5, ( ) 945 8 [ ] 7 (6) R f = − h f  Excuses for not doing homework I could only get arbitrarily close to my textbook. I couldn't actually reach it. HW: p.170 #3 n 为偶数阶的Newton-Cotes 公式至少有 n+1 次代数精度