《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 一维随机变量及其分布

第二章一维随机变量及其分布 随机变量及其分布 二、离散型随机变量的分布函数 三、离散型随机变量的概率函数 四、连续型随机变量及其概率密度 五、随机变量的函数的分布

第二章 一维随机变量及其分布 一、随机变量及其分布 二、离散型随机变量的分布函数 三、离散型随机变量的概率函数 四、连续型随机变量及其概率密度 五、随机变量的函数的分布

为了更好的揭示随机现象的规律性并利用 数学工具描述其规律,引入随机变量来描述随 机试验的不同结果 例:电话总机某段时间内接到的电话次数, 可用一个变量X来描述 例:抛掷一枚硬币可能出现的两个结果, 也可以用一个变量来描述 正面向上 X(o)210.反面向上

为了更好的揭示随机现象的规律性并利用 数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随 机试验的不同结果 例:电话总机某段时间内接到的电话次数， 可用一个变量 X 来描述 例: 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果， 也可以用一个变量来描述    = 反面向上 正面向上 0, 1, X ()

§21随机变量及其分布 、随机变量的概念 例(1)随机地掷一颗骰子,ω表示所有的样本点, ω:出现1点出现2点出现3点出现4点出现5点出现6点 X():123456 (2)某人接连不断地对同一目标进行射击直至射中为止, U表示射击次数,则 U射击1次射击2次 射击n次 X(U)1 ●●●●● n (3)某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车旅客在任意 时间到达车站u表示该旅客的候车时间, 候车时间 X(U)[0210]

§2.1 随机变量及其分布 例 (1)随机地掷一颗骰子，ω表示所有的样本点, ω: 出现1点 出现2点 出现3点 出现4点 出现5点 出现6点 X(ω): 1 2 3 4 5 6 (2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止， ω表示射击次数，则 ω 射击1次 射击2次 ...... 射击n次 ...... X(ω) 1 2 ...... n ...... (3) 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意 时间到达车站,ω表示该旅客的候车时间, ω 候车时间 X(ω) [0, 10] 一、随机变量的概念

定义设E是一随机试验,是它的样本空间, 若 VO∈9一校定制则实数X(o) 则称上的单值实值函数X(o)为随 机变量 随机变量一般用X,Y,Z,或小写希腊字母 表示 特别「离散型取值为有限个和至多可列个的 随机变量 连续型可以取区间内一切值的随机变量

定义 设E是一随机试验， 是它的样本空间， 则称 上的单值实值函数 X ( )为随 机变量 随机变量一般用 X, Y , Z , 或小写希腊字母 , , 表示  实数 X () 按一定法则   ⎯⎯⎯⎯⎯→ 若 特别 离散型  连续型 取值为有限个和至多可列个的 随机变量. 可以取区间内一切值的随机变量

随机变量是Ω→>R上的映射,这个映射具有 如下的特点: ◇定义域: 随机性:随机变量X的可能取值不止一个 试验前只能预知它的可能的取值但不能预知 取哪个值 ◇概率特性:X以一定的概率取某个值或某些 ◇引入随机变量后,用随机变量的等式或不 等式表达随机事件

随机变量是  →R 上的映射，这个映射具有 如下的特点： 定义域 : 随机性 : 随机变量X 的可能取值不止一个， 试验前只能预知它的可能的取值但不能预知 取哪个值 概率特性 : X 以一定的概率取某个值或某些 值 引入随机变量后，用随机变量的等式或不 等式表达随机事件

如,若用X表示电话总机在9:00~10:00接到 的电话次数,则 X>100}或(X>100) 表示“某天9:00~10:00接到的电话 次数超过100次”这一事件

如，若用X 表示电话总机在9:00~10:00接到 的电话次数， {X 100} 或 (X 100) —— 表示“某天9:00 ~ 10:00 接到的电话 次数超过100次”这一事件 则

再如,用随机变量 正面向上 X(o) 0,反面向上 描述抛掷一枚硬币可能出现的结果,则 (X(O)=1)—正面向上 也可以用 0,正面向上 Y(o) 11反面向上 描述这个随机试验的结果

再如，用随机变量    = 反面向上 正面向上 0, 1, X () 描述抛掷一枚硬币可能出现的结果, 则 (X () =1) — 正面向上 也可以用    = 反面向上 正面向上 1, 0, Y() 描述这个随机试验的结果

例如,要研究某地区儿童的发育情况,往往 需要多个指标,例如,身高、体重、头围等 ={儿童的发育情况} X()一身高 y()一体重 z()一头围 各随机变量之间可能有一定的关系,也可能 没有关系即相互独立

例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往 需要多个指标，例如，身高、体重、头围等 = {儿童的发育情况 } X ( ) — 身高 Y ( ) — 体重 Z ( ) — 头围 各随机变量之间可能有一定的关系，也可能 没有关系—— 即 相互独立

二、随机变量的分布函数 定义设X为随机变量,对每个实数X,随机事件 (X≤x)的概率 P(X≤x) 定义了一个x的实值函数,称为随机变量 X的分布函数,记为F(x),即 F(x)=P(X≤x)2 <X<+00 注:分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性,或 者说,分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况

定义了一个 x 的实值函数，称为随机变量 X 的分布函数，记为F ( x ) ,即 定义 设 X 为随机变量, 对每个实数 x , 随机事件 (X  x) 的概率 P(X  x) F(x) = P(X  x), −   x  + 注: 分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，或 者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况 . 二、随机变量的分布函数

分布函数的性质 F(x)单调不减,即 Vx1<x2F(x1)≤F(x2) 口0≤F(x)≤1且 lim F(x)=l, lim F(x)=0 x-)+0 x→)-00 口F(X)右连续,即 F(x+0)=lm F(t)=F(x) t→x+0

分布函数的性质 ❑ F ( x ) 单调不减，即 , ( ) ( ) 1 2 1 2  x  x F x  F x ❑ 0  F(x) 1 且 lim ( ) =1, lim ( ) = 0 →+ →− F x F x x x ❑ F ( x ) 右连续，即 ( 0) lim ( ) ( ) 0 F x F t F x t x + = = → +