上海交通大学：《数学与文化》课程PPT教学课件（讲稿，2015）7 非欧几何与几何基础

第七讲 非欧几何与几何基础

《原本》：科学的《圣经》 Vol.1(Books I and Il) EUCLID >请回忆自己在中学学 THE THIRTEEN BOOKS OF THE ELEMENTS 习几何时体会 Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L Heath Second Edition Unabridged

爱因斯坦“邂逅” 毕达哥拉斯 “有一次雅可比叔叔向他的侄儿讲了毕氏定 理的内容，而未讲任何证明。他的侄儿理 解了所涉及的关系，并感到可基于一种理 由而推导出来。…这个小孩在三个星期 中用其全部的思维力量去证明这一定理 他专注到三角形的相似性（从直角三角形 的一个顶点向斜边作垂线)得到了一个证 明。为此，他长时间的激动！这虽然仅涉 及到一个非常古老的著名定理，他却经历 了发现者首次的快乐

Do you knov me?I'am Einstein I have proved the MOST point: 8孤a2+6公=mc8 “如果欧几里得未能激发起你少年时代的科学热情，那你 肯定不会是一个天才的科学家”-爱因斯坦

>自《原本》诞生那天起， “欧几里得几何' 作为数学严格性的典范，保持着神圣的地 位。人们把“欧氏几何”奉为“绝对真 理”，例如， 巴罗(Isaac Barrow)就曾列出 8点理由肯定欧氏几何，说它：概念清晰 定义明确；公理直观可靠而且普遍成立； 公设清楚可信而且易于想象；公理数目少 引出量的方式易于接受；证明顺序自然； 避免未知事物

> 此书有四不必，不必疑，不必揣， 不必试， 不必改。有四不可得，欲脱之不可得，欲驳 之不可得，欲减之不可得， 欲前后更置之不 可得 下学工夫，有理有事。此书为益。 能令学理 者怯其浮气，练其精心； 学事者资其定法， 发其巧思，故举世无一人不当学 一徐光启《几何原本杂议》

《原本》的公理化体系 第一卷：23个定义，5个公理，5个公设，48个命题 定义(definition) 1.点是没有部分的： 2.线只有长度而没有宽度 3.一线的两端是点； 4.直线是它上面的点一样放置着的线： 23.平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向 无限延长，在不论哪个方向它们都不相交

公设(postulate)一关于几何的假设 1.从任一点到任一点可作直线 2.线段可以任意延长： 3.以任一点为中心，任一距离为半径可以 作一圆； 4.所有直角皆相等 5.若一直线与两直线相交，且如果同侧所 交两内角之和小于两直角，则两直线无限 延长后必相交与该侧的一点

公理(axiom)一关于量的规定 1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，总量仍相等： 3.等量减等量，余量仍相等： 4.彼此重合的东西是相等的： 5.整体大于部分

这些是永恒的真理吗？ “过直线外一点有且只有一条直线和已知直 线平行” “三角形的内角和等于1800