上海交通大学：《数学与文化》课程PPT教学课件（讲稿）7非欧几何与几何基础

第七讲 非欧几何与几何基础

《原本》：科学的《圣经》 >自《原本》诞生那天起， “欧几里得几何’ 作为数学严格性的典范，保持着神圣的地 位。人们把“欧氏几何”奉为“绝对真 理”，例如， 巴罗(Isaac Barrow)就曾列出 8点理由肯定欧氏几何，说它：概念清晰 定义明确；公理直观可靠而且普遍成立； 公设清楚可信而且易于想象；公理数目少； 引出量的方式易于接受；证明顺序自然； 避免未知事物

“几何”的意义 《几何原本》者度数之宗，所以穷方圆平 直之情，尽规矩准绳之用也。…独谓此 书未译，则他书俱不可得论 。……既卒业 而复之，由显入微，从疑得信， 盖不用为 用，众用所基，真可谓万象之形囿，百家 之学海”。 徐光启：《刻几何原本序》

>此书有四不必，不必疑，不必揣，不必试， 不必改。有四不可得，欲脱之不可得，欲驳 之不可得，欲减之不可得， 欲前后更置之不 可得 下学工夫，有理有事。此书为益。 能令学理 者怯其浮气，练其精心； 学事者资其定法， 发其巧思，故举世无一人不当学。 一徐光启《几何原本杂议》

这些是永恒的真理吗？ “过直线外一点有且只有一条直线和已知直 线平行” “三角形的内角和等于1800

从“第五公设”谈起 公设1从任一点到任一点可以作一直线 公设2有限直线可以延长， 公设3以定点为圆心，定长为半径可以作圆 公设4凡直角都相等. 公设5若一条直线与两直线相交，且如果在这条 直线同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无 限延长后必相交于该侧的一点

疑点1叙述较长，失之简明 疑点2.出现较晚，只用一次 卷I(共48个命题)命题29 一 直线与两平行线相交，则所成的内错角 相等，同位角相等，且同旁内角的和等于二直 角一平行线性质定理 猜疑：欧几里得把这一命题列为公设，不是因为 它不能证明，而是他本人找不到证明

它大概是可以被证明的 已知直线[与G、2相交于A,B;若+B<2d,则 4与2必相交 L Le A B B

 L2 L1 L

寻找第五么设的“证明” “这一公理应该完全 从全部的公理中别除出 去.因为它是一个包含 许多困难的定理” 古希腊Proclas (412-485) 一 位新柏拉图主义者，他的 《(几何原本〉卷一注释》完整 的保存了下来

己知：3与、 2相交于A、B,+B<2d 求证：14与2相交 证明中蕴涵两个假设 (1)当点C沿着L2无限远离B点时， 距离CD无限增大； (2)若与引不相交，则与l的距 离有上界，且对于直线上的点处 处相等。 命题(1)正确 命题(2)与第五公设等价！

l1 l2 l   l3‘ A B CD