西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第四章 解线性方程组的迭代法（4.1）简单迭代法

§4-1简单迭代法 、 Jacob迭代计算公式 设n阶线性方程组 a1x,+aix b a2Ix+a2 x2+.+a2nx,=b, anx,+an2x2+.+amxn=b 的系数矩阵A非奇异,且an≠0=1,2,…,n),化为等价方程组 a1 x+b) a21x1-a23x3-…-a2xn+b2) x x,+6

§4-1 简单迭代法        + + + = + + + = + + + = n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 设n阶线性方程组 ( ) ( ) ( )            = − − − − + = − − − − + = − − − − + n n n n− n− n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x 1 1 2 2 , 1 1 2 1 1 2 3 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1     a (i n) ii 的系数矩阵A非奇异，且  0 =1,2,  , ，化为等价方程组 一、Jacobi迭代计算公式

任给初始向量x=(x,x2)…,x0),由迭代公式 (m) +6 +b +6 可得向量序列{xm)},其中xm)=(x(m),x2m) 如果imxm)=a,那么a就是原方程组的解 n→)0 这种求线性方程组的解的方法称为简单迭代法或称为雅 可比( Jacobi)迭代法

{ } (m) x m T n m m m x (x , x , , x ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 可得向量序列 ，其中 ( ) =  = → ( ) lim m m 如果 x ，那么  就是原方程组的解. 这种求线性方程组的解的方法称为简单迭代法.或称为雅 可比（Jacobi）迭代法. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )            = − − − − + = − − − − + = − − − − + − − + + + n m n n n m n m n n n m n m n n m m m m n n m m m a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x 1 1 2 , 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 3 1 1 1 1 1 1 2 3 3 1 1 1     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T n x x x x 0 0 2 0 1 0 任给初始向量 = , ,  , ，由迭代公式

二、 Jacobi迭代的矩阵形式 若令D 12 0 n L=la 31 0 L 0 2 则方程组Ax=b化为等价方程组x=D(L+U)x+D"b 于是迭代公式为xm+=D(L+U)xm+Db(m=0,12… 令B=D(L+U)g1=Db,则 m)=BxⅧm)+g1(m=0,2,…) 为简单迭代法的矩阵形

二、Jacobi迭代的矩阵形式                 − = − 0 0 0 0 1 2 , 1 31 32 21 n n n n a a a a a a L                      − = − 0 0 0 0 1, 23 2 12 13 1 n n n n a a a a a a U                 = ann a a D  22 11 若令 x D (L U)x D b −1 −1 = + + ( ) ( ) ( 0,1,2, ) x m+1 = D −1 L +U x (m) + D −1 b m =  令B = D −1 (L +U), g1 = D −1 b,则 ( 0,1,2, ) 1 ( ) 1 x (m+1) = B x m + g m =  则方程组Ax=b化为等价方程组 于是迭代公式为： 为简单迭代法的矩阵形 式

作业: 教材P91习题2、3

作业： 教材P91 习题 2 、 3