西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第八章 数值积分（8.1）数值积分初步

§8-1数值积分初步 般数值积分公式 所谓积分(x)的数值解法通常是指用函数(x)在一组节点 a≤x<x1<…<xn≤b上的函数值f(x,)(i=0…,n)的某些线性组合 来近似所求积分即 「f(xtx≈4/(x)+4/(x)+…+A/(x,) ∑4f(x) 或者写成 ∫f(x)k=∑4fx)+R

§8-1 数值积分初步 一、一般数值积分公式 ( ) ( ) [ ] (2) ( ) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( )( 0, , ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 0 1      = = = + =  + + +      = b a n i i i n i i i n n b a n i b a f x dx A f x R f A f x f x dx A f x A f x A f x a x x x b f x i n f x dx f x 或者写成 来近似所求积分即 上的函数值 的某些线性组合 所谓积分 的数值解法通常是指用函数 在一组节点   

称式(1)或式(2)为数值积分公式 A称为求积系数 x为求积节点 风门为求积公式余项 二、构造数值积分公式的基本方法 利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下 在积分区邮ab上取一组节点 a≤x0<x1<…<x≤b 以及节点处函数值 f(x)(i=0,12…,n)

称式(1)或式(2)为数值积分公式. Ai 称为求积系数 为求积节点. i x R[ f ]为求积公式余项. 二、构造数值积分公式的基本方法 利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下: 在积分区间[a,b]上取一组节点 a  x0  x1  xn  b f (x ) (i 0,1, ,n) i =  以及节点处函数值

作f(x)的n次插值多项式 Ln(x)=∑f(x)(x) 其中 X-x X-X )(x-x+1)…(x-xn) )(x1-x+1)…(x1-xn) 将插值公式 f(x=l,(x)+ n+ 代入,得 (n+1) ∫/(xk=」L()k+∫ ( (x)dx n+

作f (x)的n次插值多项式     + + + + − + − + = + = + + = + − − − − − − − − = = b a b a n n n b a n n n i i i i i i n i i n i n i n i i x dx n f f x dx L x dx x n f f x L x x x x x x x x x x x x x x x x x l x L x f x l x ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) , ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) 0 1 1 0 1 1 0     代入 得 将插值公式 其中    

n+ ∑f(x)(x)k+ i=0 (n+l)/ n+(x)dx 其中On1(x)=(x-x)…(x-x1)(x-x1)…(x-x)5∈[ab依赖于x 若记 A=4(x) (x-x0)…(x-x=1)(x-x)…(x-xn) dx (x1-x0)…(x1-x21)(x1-x1)…(x1-xn) b f(n+l) /=「 (2) On,+(x)dx (n+1) 得到插值型求积公式 ∫/(x)x=∑4f(x)+ i=0

x x x x x x x x x a b x x dx n f f x l x dx n i i n b a n b n a i n i i 其中 ( ) ( ) ( )( ) ( ), [ , ]依赖于 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 ( 1) 0 = − − − −  + = + + − + + + =          则得到插值型求积公式 若记    + + − + − + + = − − − − − − − − = = b a n n b a i i i i i i n i i n b a i i x dx n f R f dx x x x x x x x x x x x x x x x x A l x dx ( ) ( 1)! ( ) [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 0 1 1 0 1 1       ( ) ( ) [ ] 0  = = + b a n i i i f x dx A f x R f

、代数精确度 如果求积公式 f(x)k≈∑Af(x,) 对任意次数不超过m次的代数多项式P(x)(k≤m)都 准确成立,即 2(x)bx=∑4P(x) k=0.1 但对m+1次多项式却不能准确成立即只要 b n ≠∑A m+1 则称该求积公式具有m次的代数精确度

三、代数精确度  b a f (x)dx =  n i i i A f x 0 ( ) 准确成立 即 对任意次数不超过 次的代数多项式 都 , m P (x)(k m) k  但对m + 1次多项式却不能准确成立,即只要  b a Pk (x)dx = = n i i k i A P x 0 ( ) k = 0,1,  ,m  + b a m x dx 1 = +  n i m i i A x 0 1 则称该求积公式具有m次的代数精确度 如果求积公式

作业: 教材P174习题4

作业： 教材P174 习题 4