西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第九章 常微分方程处置问题的数值解（9.2）预估一校正

§92预估一校正 法 、改进的欧拉公式 已知初值问题 f(t2y)a≤t≤b y(a)=y 等价于 (1)-y(2)=f(t,y(m)d 且h 得 h (t1)=y(t1)+[f(t2y(t1)+f(t+1,y(t1)+R

§9-2 预估—校正 法 一、改进的欧拉公式 (1) ( ) ( , ) 0      = =   y a y f t y a t b dt dy 已知初值问题  − = 2 1 ( ) ( ) ( , ( )) 1 2 t t y t y t f t y t dt 等价于 1 1 1 1 1 1 2 1 [ ( , ( )) ( , ( ))] 2 ( ) ( ) , , , + + + + + + = + + + = = = − i i i i i i i i i i i f t y t f t y t R h y t y t 令t t t t 且h t t 得

其中R:=了(y()=2(,y()+/(m,y( 1-y(t)+y(t) 2"(5) i2i+ 当h充分小时 v(t1)≈y(t1)+-[f(t1,y(1)+f(t+1y(t+1) 所谓改进欧拉法是指分别用y12y作为y(t-1)与jv()的近似值 (i=1,2,…,n),并满足 C y+1=y1+=[f(t2y)+f(t+1ya+ 2

[ ( , ( )) ( , ( ))] 2 ( ) ( ) i+1  i + i i + i+1 i+1 f t y t f t y t h y t y t 当h充分小时 (4) [ ( , ) ( , )] 2 1 1 1 0      = + + = i+ i i i i+ i+ f t y f t y h y y y  并满足 所谓改进欧拉法是指分别用 作为 与 的近似值 ( 1,2, , ), , ( ) ( ) 1 1 i n y y y t y t i i i i =  + + ( ) [ , ] 12 [ ( ) ( )] 2 ( ) [ ( , ( )) ( , ( ))] 2 ( , ( )) 1 3 1 i 1 1 1 1 1 + + + + + = −   =  −  +  = − +   + + i i i i i i t t i i i i t t y t t h y t y t h y t dt f t y t f t y t h R f t y t dt i i i i   其中

定理1若函数f(t2y)及f(,y)在凸区域 D={(2y)a≤t≤b,-m<y<+连续,解 y()∈CIab]且当f<时,则改进欧拉法的 局部截断误差满足 hM h 2( 其中M= manly"(5)=012, t1≤5;≤t1 预估一校正法 考虑方程(4)的多次迭代解法取 yi=y, +hf(t, y)

, ( ), 0,1,2, . ) 2 12(1 1 , 2 ( ) [ , ], {( , ) | , } , 1 ( , ) ( , ) max 1 3 1 3 =  =  −      =   −   +    + + M y i f h h M f h y t C a b D t y a t b y f t y f t y i t t y i y y i i i    其中 局部截断误差满足 且当 时 则改进欧拉法的 内连续 解 定理 若函数 及 在凸区域 二、预估—校正法 ( , ) (6) (4) , (0) i 1 i i i y = y + hf t y + 考虑方程 的多次迭代解法 取

作为初值;用迭代公式 y=y+[f(t2,y)+f(t12y()k=0,2,…(7) 求出迭代序列 y/),yH2…,y 在一定条件下收敛于方程的解yn1 定理2若函数f(t,y)关于变量y在凸区域 D={(t,y)|a≤t≤b,-∞<y<+o}上满足李普希兹条件 f(t,y)-f(2n2)≤D 则当M<时,由迭代公式(6)式(7求出的序列y(4 (k=0,1,…)收敛于方程(4)的解yH

( 0,1, ) (4) . 1 , (6) (7) { } 2 1 ( , ) ( , ) {( , )| , } 2 ( , ) 1 ( ) 1 1 2 1 2 + + =  −  − =   −   + i k i k y hL y f t y f t y L y y D t y a t b y f t y y 收敛于方程 的解 则当 时 由迭代公式 、式 求出的序列 上满足李普希兹条件 定理 若函数 关于变量 在凸区域  . , , , , [ ( , ) ( , )], 0,1,2, (7) 2 1 ; 1 ( ) 1 (1) 1 (0) 1 ( ) 1 1 ( 1) 1 + + + + + + + + = + + = i k i i i k i i i i i k i y y y y y y f t y f t y k 在一定条件下收敛于方程的解 求出迭代序列 作为初值 用迭代公式   

预估一校正算法 目标用预估一校正法计算初值问题 f(t2y)a≤t≤b ya=a 的近似解 输入区间端点ab;区间等分个数n;初值a 输出n+1个等距节点t1=a+i上解近似值y(i=0,1,2,…,n) 步骤S1令h b-a t=a,y=a 输出t和y S2对=1,2,…,n做S21~S22 S21 K=y+hf(t, y)

21 ( , ); 1,2, , 21 ~ 22. . ; ; ; 1 0,1,2, , . , ; ; . . ( ) ( , ) 1 S k y hf t y i n S S t y t a y n b a h n t a ih y i n a b n y a f t y a t b dt dy i i = + = = = − = + = + =      = =   对 做 输出 和 令 个等距节点 上解近似值（ ） 区间端点 区间等分个数 初值 的近似解 用预估 — 校正法计算初值问题      三、预估—校正算法 目标 输入 输出 S1 S2 步骤

t=ati k,=y+hf(t,k,) y=(k1+k2) S22输出t和 s3停机

. 22 . ( ). 2 1 ( , ); ; 1 2 2 1 停机 S 输出t和y y k k k y hf t k t a ih = + = + = + S3

作业 教材P198习题1

作业 教材P198 习题 1