西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第六章 代数插值（6.1）代数插值基本性质

§6-1代数插值基本性质 、插值问题 给定函数(x)在区间ab上的一组n+1个不同的点 a≤x<x1<x2<…<xn,≤b 上的函数值y1=f(x),i=0,12…,n 要求构造一次数不超过n的代数多项式 P(x)=∑ax =0 使得在节点处 P(x,)=yi i=01.2.n 这个问题称为n次代数插值

§6-1 代数插值基本性质 一、插值问题 给定函数f (x)在区间[a,b]上的一组n+1个不同的点 a  x0  x1  x2  xn  b 上的函数值 yi = f (xi ), i = 0,1,2,  ,n 要求构造一次数不超过n的代数多项式 P(xi ) = yi i = 0,1,2,  ,n j n j n j P x a x = = 0 ( ) 使得在节点处 这个问题称为n次代数插值

称函数P(x)为函数f(x)的插值函数 如果Px)为多项式函数则称之为插值多项式 点x,=0,12…,n,称为插值节点 区闻ab称为插值区间 二、代数插值多项式的存在唯一性 定理1若插值节点x≠x(≠)则满足插值条件 Pm(x)=yi=0,12,…,n 的插值多项式 P(x)=ao +a,x+a2x4+. +a,x 存在且唯

称函数P(x)为函数f (x)的插值函数 如果P(x)为多项式函数,则称之为插值多项式 点 xi , i = 0,1,2,  ,n,称为插值节点 区间[a,b]称为插值区间 n n n P x = a + a x + a x ++ a x 2 0 1 2 ( ) Pn (xi ) = yi i = 0,1,2,  ,n x x (i j), 若插值节点 i  j  则满足插值条件 的插值多项式 存在且唯一. 定理1 二、代数插值多项式的存在唯一性

证明:多项式P(x)的系数an2a1a2,…an满足 线性方程组 Cn+a1X+a2x十+.+anx 2 do +ax++.+anxi=y1 C十a1x+a2xn+…. 上述方程组的系数行列式为n+1阶 Vandermonde行列式 detv ∏I∏(x-x) 由 Cramer法则线性方程组有唯一解证毕

线性方程组 证明：多项式Pn (x)的系数a0 ,a1 ,a2 ,,an 满足 0 0 2 0 1 0 2 0 a a x a x a x y n + + ++ n = 1 1 2 0 1 1 2 1 a a x a x a x y n + + ++ n = n n n n n n a + a x + a x ++ a x = y 2 0 1 2         上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式 n n n n n n x x x x x x x x x V         2 1 2 1 1 0 2 0 0 1 1 1 det =   − = = + = − 1 0 1 ( ) n i n j i j i x x 由Cramer法则,线性方程组有唯一解.证毕