西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第四章 解线性方程组的迭代法（4.3）松弛迭代法

§4-3松弛迭代法 松弛迭代计算公式 赛德尔迭代法的迭代公式可表示为 (m+1) ∑ +1 (b-∑ a,x(m+1) (m) +r:(m+1) 其中, (m+1) anx)(i=1,2,…,n) 称为第m+1步第|个分量的修正量.当迭代法收敛时 0n+1)0(=1,2,…,n)

§4-3 松弛迭代法 一、松弛迭代计算公式 赛德尔迭代法的迭代公式可表示为 ( 1,2, , ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( 1) ( ) 1 1 1 ( 1) ( 1) ( ) x r i n b a x a x a x b a x a x a x m i m i i j n j i m i j j m i i j j i i m i i j n j i m i j j m i i j j i i m i = + =  = + − − = − − + − = = + − = = + + +     ( )( 1,2, , ) 1 ( ) 1 1 ( 1) ( 1) b a x a x i n a r m j n j i i j i j m i i j j i i m i = − − =  = − = 其中， + + 称为第m+1步第I个分量的修正量. 当迭代法收敛时 0( 1,2, , ) ( 1) r i n m i + → = 

在修正量前乘上一个参数,即 (m+)=x(m)+ar(m+1) 这种求方程组近似解的方法称为松弛法,o称为松弛因子 当O时,称为超松弛法,简称为SOR 在实际计算中,松弛法常采用以下形式: (m) )x+o( 的∑ax/m-∑a1x/m)/an( 二、松弛法的矩阵形式 x(m+=(D-OL)T(1-O)D+oU]x(m)+O(D-OL)b (m=0,1,2,…) 令B=(D-OL)(1-)D+oU],80=(D-oL)b,则 (m+D)=Bxto (m=0,1,2,…

二、松弛法的矩阵形式 ( ) ( 0,1,2, ) ( ) [(1 ) ] ( ) 1 1 ( ) 1 =  = − − + + − + − − m x D L D U x D L b m m      令B = (D −L) −1 [(1−)D +U], g = (D −L) −1 b,则 ( 0,1,2, ) x (m+1) = B x (m) + g m =  在修正量前乘上一个参数，即 ( 1,2, , ) ( 1) ( ) ( 1) x x r i n m i m i m i + = + + =  1 . 1 , 1 . 当 时，称为超松弛法，简称为SOR 当 时，称为低松弛法 当 时，就是赛德尔迭代法， 这种求方程组近似解的方法称为松弛法， 称为松弛因子   =     (1 ) ( )/ ( 1,2, , ) ( ) 1 1 ( 1) ( ) ( 1) x x b a x a x ai i i n m j n j i i j i j m i i j j m i m i = − + − − =  = − = + +   在实际计算中，松弛法常采用以下形式：

、松弛法算法 输入方程组的阶数n,A的元素anl≤i,j≤n:b的分量b,1≤i≤n x的分量x1,1≤i≤n允许误差e;最大迭次次数N 输出近似解x1,x2…,x或N次选代后不收敛的信息 步骤 s1对m=1,2,…,N作S11~S13 s11对=1,2,…,n 置x=(1-O)x+ob-∑ax-∑ =H+10\|0a s12若对-12…n1x1-x≤E,则输出x,x2…x)停机 S13对i=1,2,…,n 置: S2输出“N次迭代后不收敛”;停机

三、松弛法算法 S11~S13 ,1 ; . , 1 , ; ,1 ; 0 (0) x x i n N n A a i j n b b i n i i j i 的分量 允许误差 ；最大迭次次数 方程组的阶数 的元素 ， 的分量        , , , . 近似解x1 x2  xn或N次迭代后不收敛的信息 对m =1,2,  ,N作 (1 ) . 1,2, , 1 1 1 0 0 i i i j n j i xi x i bi ai jx j ai jx j a i n         = − + − − =   − = = + 置   对  1,2, , , , ( , , , ); . 若对i −  n xi − x0i   则输出 x1 x2  xn 停机 i i x x i n = = 0 1,2, , 置 对  输入 输出 步骤 S1 S11 S12 S13 S2 输出“N次迭代后不收敛”；停机

作业: 教材P91习题4

作业： 教材P91 习题 4