西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第三章 非线性方程的数值解法（3.2）逐次迭代法

§3-2逐次迭代法 迭代法的基本思想: 对给定方程f(x)=0,将它转换成等价的形式x=(x) 给定初值x,构造迭代序列xk址1=0(x1),k=1,2,…,如果迭代 收敛 lim xki=lim p(xk) k→∞ k→∝ 有a=0(a)则a就是方程f(x)的根在计算过程中当x1-x 小于给定的精度限制时,取x作为方程的根 如:x-10X+2=0可以化为: 10-2 n+ lg( xn+2)

§ 3-2 逐次迭代法 迭代法的基本思想： 对给定方程f(x)=0，将它转换成等价的形式 x = (x) . ( ), ( ) . ( ) , ( ), 1,2, , 1 1 1 0 1 lim lim 小于给定的精度限制时，取 作为方程的根 有 则 就是方程 的根在计算过程中当 收敛 给定初值 ，构造迭代序列 如果迭代 + + → + → + = − = = = = k k k k k k k k x x f x x x x x x x x k         如：x −10x + 2 = 0可以化为： lg( 2) 10 2 1 1 = + = − + + n n x n x x x n

定理1: 设(x)定义在a,b上,若o(x)满足条件 1)当a≤x≤b时,a≤q(x)≤b (2)x∈[a,b,|q(x)L<1(L为常数) 则:(1)方程x=9(x)在[a,b有唯一根a (2)Vx0∈[a,b1,xn+1=q(x)收敛到a (3) 1-L

设(x)定义在[a,b]上，若(x)满足条件： (2) x[a,b],|'(x)| L 1 (L为常数） 1 0 0 1 1 3 | | 2 [ , ], ( 1 ( ) [ , ] x x L L x x a b x x x x a b n n n n − − −    = = +      （ ） （ ） ）收敛到 则：（）方程 在 有唯一根 ； （1）当a  x  b时，a (x)  b; 定理1：

迭代法求根算法: 目标求方程x=(x)的根 输入端点ab;允许误差选代的最大次数N 输出近似解x或方法失败的信息 步骤 Sl对i=1,2,…,N做S11~S12 Sl置x=x(x);(计算xn) S12若x-x<E则输出x,停机 否则xn=x S2输入“ Method failed”;停机

迭代法求根算法： 目标 输入 端点a,b；允许误差；迭代的最大次数N. 步骤 输出 近似解x或方法失败的信息 S1 . 12 , ; . 11 ( );( ) 1,2, , 11 ~ 12. 0 0 0 x x S x x x S x z x x i N S S n = −  = = 否则 若 则输出 停机 置 计算 对 做   S2 输入“Method failed”；停机. 求方程x = z(x)的根

作业: P68习题4

作业： P68 习题 4