西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第一章 误差（1.2）误差表示法

§22误差表示法 设x为准确值,x为x的一个近似值,称 E( X=x-X 为近似值x的绝对误差,简称误差,可简记为E. E(x)|x-x|(x)数值a(x)称为x的 绝对误差限或误差限,简记为E 然且或 E>0 x-E≤x≤x+E x=x ta

定义2： | ( )|| | ( ) 数值(x * )称为x * 的 * * * E x = x − x   x 绝对误差限或误差限, 简记为 显然 −   +  * * x x x 或 =   * x x   0 且 §2-2 误差表示法 设x为准确值, x * 为x的一个近似值,称 E x = x − x * * ( ) , , . * 为近似值x 的绝对误差 简称误差 可简记为E 定义1

若对于x=15±2x=15E(x) y=1000±5 y=1000E(y)=5 哪个更精确呢? 设x为准确值,x为x的一个近似值,称 E(x X --x E(x 为近似值x的相对误差,可简记为E, X -x E (x ≤E,(x)= 为近似值x的相对误差限

若对于 x = 15  2 y = 1000  5 15 * x = 1000 * y = ( ) 2 *  x = ( ) 5 *  y = 哪个更精确呢? 定义3： 设x为准确值, x * 为x的一个近似值,称 x x x x E x E x r − = = * * * ( ) ( ) , . * Er 为近似值x 的相对误差 可简记为 定义4： r r r x x x x E x   =  − ( ) = ( ) * * * 为近似值x * 的相对误差限

相对误差限 绝对误差限 往往未知 Er(rE(r 代替相对误差 X 代替相对误差限 因此 2 x=156(x)=2一 8.(X )==1333% 15 5 y=1000(y)=5一(y) 0.5% 1000

| x | r   = 相对误差限 绝对误差限 往往未知 * * * * * * ( ) ( ) x x x x E x E x r − = = | | * * x r   = 代替相对误差 代替相对误差限 15 * x = 1000 * y = ( ) 2 *  x = ( ) 5 *  y = 因此 13.33% 15 2 ( ) * *  r x = = 0.5% 1000 5 ( ) * *  r y = =

若x作为x的近似值,其绝对误差的绝对值不 超过某一位数字的半个单位,而该位数字到x的第 位非零数字共有n位,则称用x近似x时具有n位 有效数字简称x有n位有效数字 如:x=3.14159265 丌=3.14159 有6位有效数字 丌=3.142 有4位有效数字 丌=3.1415 有4位有效数字

定义5： , . , , , * * * * 有效数字 简称 有 位有效数字 一位非零数字共有 位 则称用 近似 时具有 位 超过某一位数字的半个单位 而该位数字到 的第 若 作为 的近似值 其绝对误差的绝对值不 x n n x x n x x x 如：  = 3.141 592 65 3.141 59 *  = 3.142 *  = 3.1415 *  = 有4位有效数字 有6位有效数字 只有4位有效数字

里1:若x作为x的近似值的表达式为 x=±0.0122…·anX104 (1)若x有n位有效数字则其相对误差E满足 E×10 2 (2)反之,若x的相对误差E满足 LErk< 101-n 2(a1+1) 则x至少有n位有效数字

若x * 作为x的近似值的表达式为 k a a am x 0. 1 2 10 * =    (1)若x * 有n位有效数字,则其相对误差Er * 满足 则x * 至少有n位有效数字n r a E −   1 1 * 10 2 1 | | (2)反之,若x * 的相对误差Er * 满足n r a E −  +  1 1 * 10 2( 1) 1 | | 定理1：

例1.要使√20的相对误差不超过0.1%,应取 几位至少有效数字? 解√20的首位数是a1=4 设√20的近似值x*有n位有效数字 则有定理3,相对误差满足 X Er= ×10<0.1% Lx* 2× ×10≤0.001n≥3.097 2×4 即应取4位有效数字近似值的误差不超过0.1

几位至少有效数字？ 例1. 要使 20的相对误差不超过0.1%，应取 20 4. 的首位数是a1 = 设 20的近似值x *有n位有效数字. n r x a x x E −    − = 1 1 * 10 2 1 | * | | * | | | 10 0.001 2 4 1 1    −n  0.1% n  3.097 解: 则有定理3,相对误差满足 即应取4位有效数字,近似值的误差不超过0.1%