西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第五章 求矩阵特征值及特征向量的数值方法（5.2）原点平移法

§5-2原点平移法 幂法的收敛速度主要取决于比值A2/4,若比值越小 则收敛越快;当接近于1时,则收敛很慢,这时采用原点平移 法可加快幂法的收敛速度 设A的特征值为λ1,2…n,则A-p的特征值为 41-p,2-p…,4n-p,且A与A-p的特征向量相同对矩阵A-pl 应用幂法,则有 xk=(a-pl)x (41-p)(a1+a2( )u2+…+an( M-p M-p 适当地选择使得入1-p>41-p且 (i=2,3,…,n)

§5-2 原点平移法 适当地选择p,使得1 − p  i − p且 ( 2,3, , ) 1 2 1 i n p i p  =  − −     幂法的收敛速度主要取决于比值 2 1 ,若比值越小 则收敛越快;当接近于1时,则收敛很慢,这时采用原点平移 法可加快幂法的收敛速度. , , , , 1 2  n 则A− pI的特征值为 1 − p,2 − p,  ,n − p,且 A与A− pI的特征向量相同. 对矩阵A− pI ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 1 n n k n k k k k u p p u p p p u x A pI x − − + + − − = − + = − −          设A的特征值为 应用幂法,则有

这样对同一初始向量x用幂法分别求矩阵4-p/和矩阵A的按模 最大的特征值,前者的收敛速度快于后者因此,对满足上述条件的 p,可先求出4-p的按模最大的特征值1及相应的特征向量1,从 而得出4的按模最大的特征值4+p及其相应的特征向量1,这种加 速收敛的方法称为原点平移法 在实际计算中,p的选取或凭借于经验或通过多次试算 而得到。但对于一些简单情形,p可以估计的例如当矩阵 A的特征值满足A>2≥3≥…≥>0(或λ<≤3≤…≤<0时, 取p=(2+2)则有 1-p≤12-p<1-p(i=2,3,…,n) 且 12-p2- 12-n12 1-p241-2-n1-2+21-x2A1-nA1 所以用原点平移法求λ可加快收敛速度

而得出 的按模最大的特征值 及其相应的特征向量 这种加 ，可先求出 的按模最大的特征值 及相应的特征向量 从 最大的特征值 前者的收敛速度快于后者因此 对满足上述条件的 这样 对同一初始向量 用幂法分别求矩阵 和矩阵 的按模 , , , . , , , 1 1 1 1 0 A p u p A pI u x A pI A + − −   速收敛的方法称为原点平移法 在实际计算中，p的选取或凭借于经验或通过多次试算 而得到。但对于一些简单情形，p可以估计的.例如当矩阵 , . 2 ( 2,3, , ) ( ), 2 1 0( 0) 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 所以 用原点平移法求 可加快收敛速度 且 取 则有 的特征值满足 或 时，                                   − −  − + − − = − − − = − − −  −  − = = +           n n n n n n i n n n p p p p p i n p A   