《电磁学》课程教学资源（课堂拓展）用静电能定义电容及其局限性

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用静电能定义电容及其局限性

问题的提出在静电学中，电容的简单定义是C=9U当两个导体所带的电量不是等量异号时，9无法被定义

问题的提出 U q C = ◼ 在静电学中,电容的简单定义是 ◼ 当两个导体所带的电量不是等量异号 时,q无法被定义

广义直接法.qC=的定义，仍沿用UU的定义仍是两导体的电势差g的定义是当用导线将所讨论的两导体接通时，从一个导体流向另一个导体的电量的绝对值++++++++++ql, U1q2, U2a

广义直接法 ◼ 仍沿用 的定义. U q C = ◼ U的定义仍是两导体的电势差 ◼ q的定义是当用导线将所讨论的两导体接通 时,从一个导体流向另一个导体的电量的绝对 值

要用的已知结论1N个导体组成的导体组，第个导体的电势为U:，所N带的电量为9,则U,=Zαijqjj=1其中ai"是电势系数，它只由各导体的形状和位置有关，ai=aji

要用的已知结论 ◼ N个导体组成的导体组,第i个导体的电势为Ui ,所 带的电量为qi ,则 其中 “ aij ”是电势系数,它只由各导体的形状和位置有关. aij=aji = = N j Ui aijqj 1

广义直接的电容定义是好的所谓“好的”指定义只与导体的形状,位置有关证明：Ui = a119 +a1292U, = a21q1 +a2292(1)q1 =biU +bi2U2反解得：(2)92 = b2iU1 +b22U2其中:b11=a22/(aa22 a122)b12=a12/(a12 —a122)b21=a12/(a12 -22a1)上式用了21=12b22=a11/(a22a11 —a12)

广义直接的电容定义是好的 ◼ 所谓“好的”指定义只与导体的形状,位置有关 ◼ 证明: (1) 反解得: (2) 其中: ◼ b11=a22/(a11a22－a12 2 ) ◼ b12=a12/(a12 2－a11a22) ◼ b21=a12/(a12 2－a22a11) ◼ b22=a11/(a22a11－a12 2 ) 上式用了a21=a12 U1 = a11q1 + a12q2 U2 = a21q1 + a22q2 q1 = b11U1 +b12U2 q2 = b21U1 +b22U2

由（1），（2)及g的定义得：br,b22 -bz2(U,-U,) (3)q：bl + b22 + 2br可见，q与（U,-U)成正比，电容是：bib22 -br2C=(4)bi1 + b22 + 2b12

由(1),(2)及q的定义得: ( ) (3) 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 U U b b b b b b q − + + − = 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 b b 2b b b b C + + − = 可见,q与(U1 -U2)成正比,电容是: (4)

用静电能来定义电容1带电导体总静电能W, = 9iU, +qU,用于非等量异2种电荷可行吗？U的定义不变，则：2WqU, +q2U(6)2(U, -U2)在平板，圆柱电容器时是正确的

用静电能来定义电容 ◼ 带电导体总静电能 (5) 2 1 1 2 U2 q U q We + = 2 1 2 1 1 2 2 2 ( ) 2 U U q U q U U W C e w − + = = 用于非等量异 种电荷可行吗? U的定义不变,则: (6) 在平板,圆柱电容器时是正确的

与广义直接定义C的关系(2) 式带入(6)式:(b11U1+ b12U2)U1+(b2iU1+ b22U2)U2 (7)Cw(Ui-U2)2相减，将（1）带入，变成由电荷表示：(q1 + q2)2Cw-C=(8)(Ui-U2)?(b11 + b22 + 2b12)1)g1十92=0与广义直接定义一致2)q1+q2≠0与所带电量有关，不是常数，不好

与广义直接定义C的关系 ◼ (2)式带入(6)式: (7) ( ) ( 2 ) ( ) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 U U b b b q q Cw C − + + + − = q1+ q2  0 q1+ q2 = 0 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) U U b U b U U b U b U U Cw − + + + = 2) 与所带电量有关,不是常数,不好. 1) 与广义直接定义一致 ◼ 相减，将(1)带入,变成由电荷表示: (8)

电容与能量的关系能量定义的电容反映整个电容器的静电能W广义直接定义反映的静电能CU?guq.12Wec(9)222U■这个静电能是什么？Wr. = qU, +(-q)U,(10)ec2是转移电荷的能量

电容与能量的关系 ◼ 能量定义的电容反映整个电容器的静电能We 2 2 2 2 2 qU U U CU q Wec = =  = 2 ( ) W qU1 q U2 ec + − = 是转移电荷的能量. ◼ 这个静电能是什么？ (10) ◼ 广义直接定义反映的静电能 (9)

余电量的静电能We剩为用总静电能减去转移电荷的能量：qU, +q2U2e剩=W。-W.=(11)W.2这个能量是带电量分别是1和92'的导体电势为U,和U,时的总静电能，是与土q有关的相对于转移电荷的能量而言，不流动，不释放

剩余电量的静电能 ◼ We剩为用总静电能减去转移电荷的能量: （11） 2 W W W q1 U1 q2 U2 e e ec  +  剩 = − = 这个能量是带电量分别是q1 ’和q2 ’的导体电势 为U1和U2时的总静电能,是与±q有关的. 相对于转移电荷的能量而言,不流动,不释放